Search
Duplicate

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 극한, 연속

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

•
다변수 실함수의 극한
◦
lim⁡x⃗→p⃗f(x⃗)=a\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a
◦
⇔∀ϵ>0,∃δ>0,(0<∥x⃗−p⃗∥<δ⇒∣f(x)−a∣<ϵ)\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, (0 < \|\vec{x} - \vec{p}\| < \delta \Rightarrow | f(x) - a | < \epsilon)
◦
⇔x⃗\Leftrightarrow \vec{x} 가 p⃗\vec{p}에 가까울수록, f(x⃗)f(\vec{x})는 aa에 가까운 값이다. (엄밀하지 않은 정의)
◦
예
▪
lim⁡(x,y)→(a,b)x=a\lim_{(x, y) \to (a, b)} x = a
▪
lim⁡(x,y)→(a,b)y=b\lim_{(x, y) \to (a, b)} y = b
▪
lim⁡(x,y)→(a,b)c=c\lim_{(x, y) \to (a, b)} c = c (c는 상수)
▪
lim⁡(x,y)→(1,2)x+y=3\lim_{(x, y) \to (1, 2)} x + y = 3
◦
경로에 따라 일변수 극한값이 달라진다면, 그 함수는 극한이 존재하지 않는다.
•
다변수 실함수의 연속
◦
f(x⃗):p⃗f(\vec{x}) : \vec{p}에서 연속 ⇔lim⁡x⃗→p⃗f(x⃗)=f(p⃗)\Leftrightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = f(\vec{p})에서 연속
◦
f(x⃗):f(\vec{x}) :연속 ∀p⃗,f(x⃗):p⃗\forall \vec{p}, f(\vec{x}) : \vec{p}에서 연속
◦
f(x⃗),g(x⃗):Rn→R:p⃗f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} : \vec{p}에서 연속 일 때
▪
f(x⃗)+g(x⃗):p⃗f(\vec{x}) + g(\vec{x}) : \vec{p}에서 연속
▪
f(x⃗)⋅g(x⃗):p⃗f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) : \vec{p}에서 연속
▪
f(x⃗)g(x⃗):p⃗{f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} : \vec{p}에서 연속 (lim⁡x⃗→p⃗g(x⃗)≠0)(\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) \neq 0)
◦
h(t):R→R:f(p⃗)h(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : f(\vec{p})에서 연속, f(x⃗)=p⃗f(\vec{x}) = \vec{p}에서 연속 ⇒h(f(x⃗)):p⃗\Rightarrow h(f(\vec{x})) : \vec{p}에서 연속

다변수 실함수식

•
lim⁡x⃗→p⃗f(x⃗)=a,lim⁡x⃗→p⃗g(x⃗)=b\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a, \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) = b 일 때
◦
lim⁡x⃗→p⃗f(x⃗)+g(x⃗)=a+b\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) = a + b
◦
lim⁡x⃗→p⃗f(x⃗)⋅g(x⃗)=a⋅b\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) = a \cdot b
◦
lim⁡x⃗→p⃗f(x⃗)g(x⃗)=ab(b≠0)\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} = {a \over b} (b \neq 0)
◦
h:R→R,lim⁡t→ah(t)=c⇒lim⁡x⃗→p⃗h(f(x⃗))=ch : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{t \to a} h(t) = c \Rightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} h(f(\vec{x})) = c
Made with