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이상엽/ 선형대수학/ 물리적 벡터

벡터와 좌표계

평면벡터

R2R^{2}에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구
•
벡터는 크기와 방향만 고려하므로 위치가 다르더라도 크기와 방향이 같으면 같은 것으로 인정한다. 고로 아래 이미지상 v와 동일한 벡터는 d가 된다.

공간벡터

R3R^{3}에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

n차원 벡터

RnR^{n} 상의 벡터 v=(v1,v2,...,vn)=AB⃗=(b1−a1,b2−a2,...,bn−an)v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) = \vec{AB} = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, ... , b_{n} - a_{n})
•
영벡터 0⃗=0=(0,0,...,0)\vec{0} = 0 = (0, 0, ... , 0)
•
두 벡터 v=(v1,v2,...,vn),w=(w1,w2,...,wn)v = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}), w = (w_{1}, w_{2}, ... , w_{n})가 같다
◦
⇔v1=w1,v2=w2,...,vn=wn\Leftrightarrow v_{1} = w_{1}, v_{2} = w_{2}, ... , v_{n} = w_{n}

벡터의 연산

노름

•
벡터의 크기 (또는 길이) 라고 한다.
◦
∥v∥=v12+v22+...+vn2\|v\| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + ... + v_{n}^{2}}
•
노름이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
◦
정규화: 벡터의 단위 벡터 (크기를 1)로 만드는 과정.
▪
v∥v∥=v^{v \over \|v\|} = \hat{v}
•
e1=(1,0,0,...,0),e2=(0,1,0,...,0)e_{1} = (1, 0, 0, ... , 0), e_{2} = (0, 1, 0, ... , 0) 등을 표준 단위벡터라고 한다.
◦
벡터를 표준단위 벡터를 이용하여 아래와 같이 표현 가능
◦
v=(v1,v2,...,vn)=v1e1+v2e2+...+vnenv = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n}) = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + ... + v_{n} e_{n}

선형결합

•
선형이라는 의미는 선으로 그려지는 것 보다는 --축소된 의미-- '예측 가능한' 이라는 의미로 이해하는 것이 좋다.
◦
역으로 비선형이라는 말은 '예측 불가능한' (확률적인) 이라는 의미로 이해하는 것이 좋음.

벡터의 덧셈과 뺄셈

v±w=(v1±w1,v2±w2+...+vn±wn)v \pm w = (v_{1} \pm w_{1}, v_{2} \pm w_{2} + ... + v_{n} \pm w_{n})

벡터의 실수배

kv=(kv1,kv2,...,kvn)kv = (kv_{1}, kv_{2}, ... , kv_{n})

선형(일차) 결합

RnR^{n}의 벡터 ww가 임의의 실수 k1,k2,...krk_{1}, k_{2}, ... k_{r}에 대하여
w=k1v1,k2v2,...krvrw = k_{1}v_{1}, k_{2}v_{2}, ... k_{r}v_{r}의 형태로 쓰여지면 ww를 v1,v2,...vrv_{1}, v_{2}, ... v_{r}의 선형(일차)결합이라 한다.

스칼라 곱

한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해 가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기), 점곱 또는 내적
•
스칼라 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱
•
점 곱(dot product) 또는 내적이라고도 한다.
v⋅w=∥v∥∥w∥cosθ=v1w1+v2w2+...+vnwnv \cdot w = \|v\| \|w\| cos \theta = v_{1}w_{1} + v_{2}w_{2} + ... + v_{n}w_{n}
(θ\theta는 두 벡터 v,wv, w가 이루는 각)
•
개념적으로 봤을 때 두 벡터의 스칼라 곱은 두 벡터의 크기를 곱한 것으로 정의한다.
•
다만 벡터는 방향이라는 개념이 있기 때문에 단순 곱만이 아니라 추가적인 정의가 필요한데,
◦
일단 두 벡터 v, w가 같은 방향일 경우 스칼라 곱은 두 벡터의 곱으로 정의해 볼 수 있다.
▪
v⃗⋅w⃗=∥v⃗∥×∥w⃗∥\vec{v} \cdot \vec{w} = \|\vec{v}\| \times \|\vec{w}\|
◦
만일 두 벡터 v, w가 다른 방향일 경우, w를 v와 동일한 방향과 그렇지 않은 방향으로 분해해서 v와 곱할 수 있다.
▪
위 그림에서 w는 v와 일치하는 방향과 v와 수직인 방향으로 분해할 수 있는데, v와 일치하는 방향의 크기와 v를 곱한게 최종적인 벡터의 스칼라 곱으로 정의가 된다. (w의 크기보다 줄어드는데 이는 w의 수직 방향의 힘이 v와 같은 방향의 힘을 줄이기 때문이라고 이해할 수 있다.)
▪
w를 v와 같은 방향의 벡터인 a와 v와 직교하는 방향의 벡터인 b로 분해하면 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.
▪
v⃗⋅w⃗=∥v⃗∥×∥a⃗∥=∥v⃗∥×∥w⃗∥×cosθ\vec{v} \cdot \vec{w} = \|\vec{v}\| \times \|\vec{a}\| = \|\vec{v}\| \times \|\vec{w}\| \times cos \theta
•
a⃗\vec{a}의 크기는 w⃗\vec{w}의 크기에 cosθcos \theta 를 곱한 것과 같다.

벡터의 연산 성질

RnR^{n} 상의 벡터 u,v,wu, v, w와 스칼라 k,mk, m에 대하여 다음이 성립한다.
•
u+v=v+uu + v = v + u
•
(u+v)+w=u+(v+w)(u + v) + w = u + (v + w)
•
u+0⃗=0⃗+u=uu + \vec{0} = \vec{0} + u = u
•
u+(−u⃗)=0⃗u + (-\vec{u}) = \vec{0}
•
k(u+v)=ku+kvk(u + v) = ku + kv
•
(k+m)u=ku+mu(k+m)u = ku + mu
•
k(mu)=(km)uk(mu) = (km)u
•
1u=u1u = u
•
0u=0⃗,k0⃗=0⃗0u = \vec{0}, k\vec{0} = \vec{0}
•
u⋅v=v⋅uu \cdot v = v \cdot u
•
0⃗⋅u=u⋅0⃗=0⃗\vec{0} \cdot u = u \cdot \vec{0} = \vec{0}
•
u⋅(v+w)=u⋅v+u+⋅wu \cdot (v + w) = u \cdot v + u + \cdot w
•
(u+v)⋅w=u⋅w+v+⋅w(u + v) \cdot w = u \cdot w + v + \cdot w
•
k(u⋅v)=(ku)⋅v=u⋅(kv)k(u \cdot v) = (ku) \cdot v = u \cdot (kv)

벡터 곱

방향은 두 벡터에 동시에 수직이고 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적인 R3R^{3}상의 벡터, 가위곱, 또는 외적
•
벡터 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱
◦
같은 맥락에서 텐서 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱은 텐서 곱이라고 한다.
•
가위 곱(cross product) 또는 외적 이라고도 한다.
◦
사실 외적이라는 표현은 적절하지 못한 표현인데, 텐서 곱이 외적이기 때문.
•
벡터 곱은 오로지 3차원에서만 정의 되며, 2차원, 4차원 이상에서 정의 불가.
◦
반면 스칼라 곱은 N 차원에 대해 정의 가능.
v×w=(∣v2v3w2w3∣,−∣v1v3w1w3∣,∣v1v2w1w2∣)v \times w = ( \left| \begin{array}{rr} v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3} \end{array} \right|, -\left| \begin{array}{rr} v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3} \end{array} \right|, \left| \begin{array}{rr} v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2} \end{array} \right| )
•
벡터 곱의 크기는 두 벡터의 크기의 곱이 되고 (평행사변형의 면적), 방향은 두 벡터에 동시에 수직인 방향이 된다.
◦
벡터 곱은 순서가 중요한데, 순서에 따라 벡터 곱의 방향이 바뀐다.
◦
위 예시에서 v×wv \times w는 위로, w×vw \times v는 아래로 가는 벡터가 된다.
•
벡터 곱 연산은 두 벡터의 행렬식으로 계산된다.

벡터 곱의 성질

R3R^{3}상의 벡터 u,v,wu, v, w와 스칼라 kk에 대하여 다음이 성립한다.
•
u×v=−(v×u)u \times v = -(v \times u)
◦
벡터 곱 순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.
•
u×(v+w)=(u×v)+(u×w)u \times (v + w) = (u \times v) + (u \times w)
•
(u+v)×w=(u×w)+(v×w)(u + v) \times w = (u \times w) + (v \times w)
•
k(u×v)=(ku)×v=u×(kv)k(u \times v) = (ku) \times v = u \times (kv)
•
u×0⃗=0⃗×u=0⃗u \times \vec{0} = \vec{0} \times u = \vec{0}
•
u×u=0⃗u \times u = \vec{0}
◦
자기 자신과 벡터 곱을 하면 영벡터가 된다.

벡터의 응용

직선의 표현

R2R^{2} 또는 R3R^{3}에서 위치벡터가 aa인 점 AA를 지나며 방향벡터가 vv인 직선 상의 임의의 점 XX의 위치벡터 xx는
x=a+kvx = a + kv
을 만족한다. (단, kk는 임의의 실수)
•
직선의 방정식이 아니라 벡터 --위치벡터와 방향벡터-- 를 통해서도 직선을 표현할 수 있다는 뜻.
◦
위치벡터란 원점을 시점으로 하는 벡터를 뜻한다.
◦
방향벡터란 직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터를 뜻한다.
•
y=x+2y = x + 2 라는 직선의 방정식을 벡터를 이용해서 표현하면 (x,y)=(−1+k,1+k)(x, y) = (-1+k, 1+k)의 꼴이 된다.

평면의 표현

R3R^{3} 에서 위치벡터가 aa인 점 AA를 지나며 법선벡터가 vv인 평면 상의 임의의 점 XX의 위치벡터 xx는
(x−a)⋅v=0(x - a) \cdot v = 0
을 만족한다.
•
법선벡터는 평면상의 서로 다른 두 직선의 방향벡터들의 벡터 곱으로써 구하면 용이하다.
◦
법선벡터란 평면에 수직인 벡터를 뜻한다.
•
x−2+y+z=0x - 2 + y + z = 0 라는 평면의 방정식을 벡터를 이용해서 표현하면 (x−2,y,z)(x-2, y, z)의 꼴이 된다.
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