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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 편미분

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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f:Rn→R,f(x1,x2,...xn)∈Rf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}
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f(x1,x2,...xn)f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}): 점 (P1,P2,...Pn)(P_{1}, P_{2}, ... P_{n}): 에서 변수 xkx_{k}에 대해 편미분 가능 ⇔lim⁡h→0f(P1,P2,...Pk+h,...Pn)−f(P1,P2,...Pn)h\Leftrightarrow \lim_{h \to 0} { f(P_{1}, P_{2}, ... P_{k}+h, ... P_{n}) - f(P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) \over h}가 존재
◦
∂f∂xk=lim⁡h→0f(x1,x2,...xk+h,...xn)−f(x1,x2,...xn)h{\partial f \over \partial x_{k}} = \lim_{h \to 0} { f(x_{1}, x_{2}, ... x_{k}+h, ... x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \over h}
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ff를 xkx_{k}에 대해 편미분한 함수
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편미분 표기법
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∂∂y(∂∂xf)=∂2∂y∂xf{\partial \over \partial y} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial y \partial x} f
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∂∂x(∂∂xf)=∂2∂x2f{\partial \over \partial x} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial x^{2}} f
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f:Rn→Rf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}에 대하여
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∂f∂xi,∂f∂xj,∂f∂xi∂xj:P⃗{\partial f \over \partial x_{i}}, {\partial f \over \partial x_{j}}, {\partial f \over \partial x_{i} \partial x_{j}} : \vec{P}에서 연속이면
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⇒∂2f∂xi∂xj(P⃗)=∂2f∂xj∂xi(P⃗)\Rightarrow {\partial^{2} f \over \partial x_{i} \partial x_{j} } (\vec{P}) = {\partial^{2} f \over \partial x_{j} \partial x_{i}} (\vec{P}) (편미분 순서를 바꿔도 결과가 동일하다) - 클레로 정리
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평균값 정리
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구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다.
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기하학적 관점에서 곡선의 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선이 구간 내에 존재한다는 뜻이 됨
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편미분은 축 방향 (x축 또는 y축) 의 접선의 기울기를 의미, 전미분은 접공간 (tangent space라고도 함)을 구하는 것.

편미분 계산 예

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∂2∂x∂y(xsin⁡y+yex)=∂∂x(xcos⁡y+ex)=cos⁡y+ex{\partial^{2} \over \partial x \partial y} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial x} (x \cos y + e^{x}) = \cos y + e^{x}
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삼각함수 미분
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ddxsin⁡x=cos⁡x{d \over dx} \sin x = \cos x
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ddxcos⁡x=−sin⁡x{d \over dx} \cos x = -\sin x
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ddxtan⁡x=sec⁡2x{d \over dx} \tan x = \sec^{2} x
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∂2∂y∂x(xsin⁡y+yex)=∂∂y(sin⁡y+yex)=cos⁡y+ex{\partial^{2} \over \partial y \partial x} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial y} (\sin y + y e^{x}) = \cos y + e^{x}
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∂2∂y∂xxy=∂∂yy⋅xy−1=xy−1+y⋅ln⁡x⋅xy−1{\partial^{2} \over \partial y \partial x} x^{y} = {\partial \over \partial y} y \cdot x^{y-1} = x^{y-1} + y \cdot \ln x \cdot x^{y-1}
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곱의 미분
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ddtf(t)⋅g(t)=(ddtf(t))g(t)+f(t)(ddtg(t)){d \over dt} f(t) \cdot g(t) = ({d \over dt} f(t)) g(t) + f(t)({d \over dt} g(t))
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지수의 미분
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ddtat=ln⁡a⋅at(ln⁡a=log⁡ea){d \over dt} a^{t} = \ln a \cdot a^{t} (\ln a = \log_{e} a)
Made with