데코수학/ 벡터미적분학/ 그린 정리

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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영역 (Ω)(\Omega)(Ω), 경계 (∂Ω)(\partial \Omega)(∂Ω)

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2차원 영역에서는 테두리, 3차원 영역에서는 표면, 1차원 선에서는 양 끝점이 경계가 된다.

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조르당 곡선정리

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평면에서 단순 폐곡선 C는 평면을 내부영역과 외부영역으로 분할한다. (단순 폐곡선이란 중간에 겹치는 점 없이 이루어진 폐곡선)

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폐곡선의 방향과 부호

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영역 (Ω)(\Omega)(Ω)의 경계 (∂Ω)(\partial \Omega)(∂Ω) 에 대하여, 곡선을 진행할 때 영역이 왼쪽에 놓이게 되는 방향을 + 방향이라고 한다.

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영역이 안쪽에 있으면 반시계 방향, 영역이 바깥쪽에 있으면 시계방향이 + 방향이 된다.

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좌표계의 오른손 법칙, 벡터곱과 관련되어 이렇게 정의 함.

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그린 정리

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Ω(⊆R2)\Omega (\subseteq \mathbb{R}^{2})Ω(⊆R2): 조각적으로 매끄러운 단순폐곡선 c1,c2,...cnc_{1}, c_{2}, ... c_{n}c1​,c2​,...cn​ 으로 둘러 쌓인 영역 (c2,...cnc_{2}, ... c_{n}c2​,...cn​ 내부에 있고, c1,c2,...cnc_{1}, c_{2}, ... c_{n}c1​,c2​,...cn​ 들은 서로 겹치지 않음)

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내부에 구멍이 유한개 뚫려 있는 단순 폐곡선을 의미

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조각적으로 매끄러운 것은 미분 불가능한 지점이 있을 수 있음

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그리고 F⃗\vec{F}F 는 Ω\OmegaΩ 에서 미분 가능하면

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⇒∫Ω(∇×F⃗)⋅z^dx∧dy=∫ΩF⃗⋅dx⃗\Rightarrow \int_{\Omega} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{z} dx \land dy = \int_{\Omega}\vec{F} \cdot d\vec{x}⇒∫Ω​(∇×F)⋅z^dx∧dy=∫Ω​F⋅dx