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이상엽/ 해석학/ 함수열과 멱급수

정의

Def 1. [함수열과 함수열급수]
∅≠D⊂R\emptyset \neq D \subset \mathbb{R}이고 모든 n∈Rn \in \mathbb{R}에 대하여 fn:D→Rf_{n} : D \to \mathbb{R}일 때 {fn}\{f_{n}\}을 DD에서의 함수열이라 한다.
또한 {fn}\{f_{n}\}이 함수열일 때 ∑n=1∞fn\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}을 함수열 급수라 한다.
•
(쉽게 말해서 수열의 형태로 묶은 함수를 함수열이라고 한다. 그렇게 만들어진 함수열은 급수형태로도 표현 가능)
Def 2. [멱급수]
실수 cc와 수열 {an}\{a_{n}\}에 대하여 함수열 {fn}\{f_{n}\}이
fn(x)=an(x−c)nf_{n} (x) = a_{n}(x - c)^{n}
과 같이 표현될 때의 함수열 급수
∑n=1∞fn=∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}
를 멱급수라 한다.
•
(함수열이 다항함수의 형태로 구성될 때 멱급수라고 한다)
•
(멱은 power의 번역인데, 덮어씌워지는 것, 누적되는 것이라 이해하면 된다)
Def 3. [해석함수]
어떤 δ>0\delta > 0에 대하여 (c−δ,c+δ)(c-\delta, c+\delta)에서 함수 ff가 멱급수로 표현될 수 있으면,
즉 f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-c)^{n}이면 ff가 x=cx=c에서 해석적이라 한다.
또한 함수 ff가 열린구간 II의 모든 점에서 해석적이면 ff를 II에서의 해석함수라 한다.
•
(멱급수로 표현 가능한 것을 해석함수라고 한다)

점별, 균등수렴

•
(f(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x)+...f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) + f_{3}(x) + ...과 같은 형태로 분해가 가능할 때 해석함수라고 한다.)
◦
(물론 이것이 의미가 있으려면 함수 f(x)f(x)가 수렴성을 가져야 함. 그래서 우선은 수렴성을 판단해야 한다)
•
(이렇게 되면 함수 f(x)f(x)를 보지 않고 그 분해된 각각의 {fn(x)}\{f_{n}(x)\}들을 보고 그 합으로써 f(x)f(x)를 이해할 수 있다.)
•
(라고 수학자들이 최초에 생각했으나, f(x)f(x)의 하위 f1(x),f2(x),f3(x),...f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), ...이 모두 연속이거나 미분, 적분 가능해도 정작 그 하위 함수들의 합인 함수 f(x)f(x)는 연속이지도, 미분, 적분가능하지 않을 수 있는 Case가 계속 발견되었음)
•
(그래서 어떻게 해야 하위 함수들의 성질을 그대로 원래 함수에도 적용할 수 있을지를 고민했고 그런 것이 적용 가능한 경우를 바이어슈트라스가 발견해서 균등수렴이라고 정의 함. 그것이 안되는 기존의 수렴은 점별수렴이라고 한다.)

함수열의 수렴

Def. [점별수렴과 균등수렴]
{fn}\{f_{n}\}와 {fn}\{f_{n}\}가 각각 {fn}\{f_{n}\}에서 정의된 함수열과 함수라 하자
1.
임의의 x∈Dx \in D와 임의의 ϵ>0\epsilon > 0에 대해 n≥N⇒∣fn(x)−f(x)∣<ϵn \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon을 만족시키는 자연수 NN이 존재하면 {fn}f\{f_{n}\}f은 DD에서 ff로 점별수렴한다고 한다. 이때 ff를 {fn}\{f_{n}\}의 극한함수라 하고, f(x)=lim⁡n→∞fn(x)f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)로 표현한다.
2.
임의의 ϵ>0\epsilon > 0에 대하여 n≥N⇒∣fn(x)−f(x)∣<ϵn \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon를 임의의 x∈Dx \in D에 대하여 만족시키는 자연수 NN이 존재하면 {fn}\{f_{n}\}은 DD에서 ff로 균등수렴한다고 한다.
Thm. {fn}\{f_{n}\}이 DD에서 균등수렴하면 점별수렴한다.

함수열급수의 수렴

Thm 1. [코시판정법]
fn:D→Rf_{n} : D \to \mathbb{R}이라 할 떄, 다음 조건을 만족하는 ∑n=1∞fnf\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}f은 DD에서 균등수렴한다.
∀ϵ>0,∃N∈N:∀m,n∈N\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}
with m>n≥N,∀x∈D,∣∑k=n+1mfk(x)∣<ϵm > n \geq \mathbb{N}, \forall x \in D, |\sum_{k=n+1}^{m} f_{k}(x)| < \epsilon
Thm 2. [바이어슈트라스판정법]
n∈Nn \in \mathbb{N}에 대하여 fn:D→Rf_{n} : D \to \mathbb{R}이라 할 때, 적당한 양의 상수 Mn>0M_{n} > 0이 존재하여 모든 x∈Dx \in D에 대하여 ∣fn(x)∣≤Mn|f_{n}(x) | \leq M_{n}이고 ∑n=1∞Mn<∞\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty이면 ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}은 DD에서 균등수렴한다.

멱급수

•
(해석함수는 멱급수로 표현되는 함수)
•
(멱급수란 함수열급수 중에서 다항 함수로 표현되는 급수)

멱급수의 수렴

Thm 1. [근판정법]
모든 n∈Nn \in \mathbb{N}에 대하여 an≥0a_{n} \geq 0이고 lim⁡n→∞ann=M\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = M일 때 다음이 성립한다.
1.
M<1M < 1이면 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}은 수렴한다.
2.
M>1M > 1이면 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}은 발산한다.
•
(M=1M = 1 인 경우에서는 수렴, 발산법을 알 수 없음. 직접 계산해 봐야 함)
Cor. [멱급수의 수렴]
∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}에 대하여 α=lim⁡n→∞∣an∣n\alpha = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} 일 때, R=1αR = {1 \over \alpha} 라 하면 ∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}은
1.
∣x−c∣<R|x - c| < R에서 절대수렴한다.
2.
∣x−c∣>R|x - c| > R에서 발산한다.
α=0\alpha = 0이면 R=∞R = \infty로 α=∞\alpha = \infty이면 R=0R = 0으로 간주한다.
•
(어떤 구간에 대해 수렴 여부 판정. 여기서 R은 수렴 반지름이라고 한다)
•
(여기서 절대수렴은 점별수렴에 대한 것이다)
Def. [수렴반지름과 수렴구간]
Cor에서 구한 RR을 멱급수 ∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}의 수렴반지름이라 하고 ∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}이 수렴하는 점들 전체의 집합을 수렴구간이라 한다.
Thm 1. [수렴반지름과 균등수렴]
∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}의 수렴반지름을 RR이라 하고 0<r<R0 < r < R 일 때 ∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}은 [c−r,c+r][c-r, c+r]에서 균등수렴한다.
•
(수렴 반지름 안에 속하는 폐구간은 균등수렴한다)

멱급수의 연속

Thm 1. [함수열의 연속]
구간 II에서 연속인 함수열 {fn}\{f_{n}\}이 ff로 균등수렴하면 ff는 II에서 연속이다.
Cor. [함수열급수의 연속]
구간 II에서 연속인 함수열 {fn}\{f_{n}\} 에 대하여 ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 이 ff로 균등수렴하면 ff도 II에서 연속이다.
Lemma. [아벨의 공식]
수열 {an},{bn}\{a_{n}\}, \{b_{n}\} 과 임의의 자연수 n,m(n>m)n, m (n > m)에 대하여 다음이 성립한다.
∑k=mnakbk=an∑k=mnbk+∑j=mn−1(aj−aj+1)∑k=mjbk\sum_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} \sum_{k=m}^{n} b_{k} + \sum_{j=m}^{n-1} (a_{j} - a_{j+1}) \sum_{k=m}^{j} b_{k}
Thm 2. [아벨 정리]
수렴반지름이 RR인 ∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 가 x=c+Rx = c + R 에서 수렴하면 (c−R,c+R](c - R, c + R]의 임의의 폐부분집합에서 균등수렴한다.
Thm 3. [멱급수의 연속]
함수 f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}는 수렴구간에서 연속이다.

멱급수의 미분

Thm 1. [함수열의 미분]
다음을 만족하는 함수열 {fn}\{f_{n}\}은 유계구간 II에서 균등수렴한다.
1.
임의의 x0∈Ix_{0} \in I에 대하여 {fn(x0)}\{f_{n}(x_{0})\} 가 수렴한다. (점별 수렴)
2.
{fn}\{f_{n}\}이 II에서 미분가능하며, II에서 {fn′}\{f_{n}'\}는 균등수렴한다.
또한 이때 {fn}\{f_{n}\}의 극한함수를 ff라 하면 ff는 II에서 미분가능하고 임의의 x∈Ix \in I에 대하여 f′(x)=lim⁡n→∞fn′(x)f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x)이다.
Cor. [함수열급수의 미분]
다음이 만족하면 함수열급수 ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}은 유계구간 II에서 균등수렴한다.
1.
임의의 x0∈Ix_{0} \in I에 대하여 ∑n=1∞fn(x0)\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x_{0})가 수렴한다.
2.
{fn}\{f_{n}\}이 II에서 미분가능하며, II에서 ∑n=1∞fn′\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'은 균등수렴한다.
이때 f=∑n=1∞fnf = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 이라 하면 ff는 II에서 미분가능하고 임의의 x∈Ix \in I 에 대하여 f′(x)=∑n=1∞fn′(x)f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x)이다.
Lemma.
∑n=0∞an(x−c)n\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}의 수렴반지름이 RR이면 ∑n=0∞nan(x−c)n−1\sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1} 의 수렴반지름도 RR이다.
Thm 3. [멱급수의 미분]
함수 f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}의 수렴반지름이 RR이면 ff는 (c−R,c+R)(c - R, c + R)에서 미분가능하며, 이때 ff의 도함수는
f′(x)=∑n=0∞nan(x−c)n−1f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}
이다.

멱급수의 적분

Thm 1. [균등수렴과 적분]
{fn}\{f_{n}\}이 [a,b][a, b]에서 ff로 균등수렴하고 fn∈R[a,b]f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] 이면 f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R}[a, b]이고
lim⁡n→∞∫abfn=∫abf\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} f
이다.
Thm 2. [항별적분]
fn∈R[a,b]f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b]인 {fn}\{f_{n}\}에 대하여 ∑n=1∞fn\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}이 [a,b][a, b]에서 ff로 균등수렴하면 f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R}[a, b]이고
∫abf=∑n=1∞∫abfn\int_{a}^{b} f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}이다.
Thm 3. [멱급수의 적분]
함수 f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}이 [a,b][a, b]에서 수렴하면 f∈R[a,b]f \in \mathfrak{R}[a, b]이고
∫abf(x)dx=∑n=0∞an∫ab(x−c)ndx\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx 이다.
Thm 4. [멱급수의 특이적분]
함수 f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이 [a,b)[a, b)에서 수렴하고 멱급수 ∑n=0∞ann+1(b−c)n+1\sum_{n=0}^{\infty} {a_{n} \over n + 1} (b - c)^{n+1} 이 수렴하면 ff는 [a,b)[a, b)에서 특이적분가능하고
∫abf(x)dx=∑n=0∞an∫ab(x−c)ndx\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx이다.
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