Search
Duplicate

김영길/ 선형대수학/ Matrix multiplication corresponding to composite function, invertibility

Matrix multiplication

•
행렬 CC가 행렬 A,BA, B의 곱일 때
•
Cij=∑k=1mAikBkjC_{ij} = \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}
•
행렬의 곱이 왜 저런식으로 표현되냐면 행렬의 곱은 결국 함수의 합성이고 함수의 합성이 저렇게 표현되기 때문
◦
(UT)(vj)=U(T(vj))(UT)(v_{j}) = U(T(v_{j}))
◦
=U(∑k=1mBkjwk)=∑k=1mBkjU(wk)=∑k=1mBkj(∑i=1pAikzi)=∑i=1p(∑k=1mAikBkj)zi=∑ipCijzi= U(\sum_{k=1}^{m} B_{kj} w_{k}) \\ = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} U(w_{k}) \\ = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} (\sum_{i=1}^{p} A_{ik} z_{i}) \\ = \sum_{i=1}^{p} (\sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}) z_{i} \\ = \sum_{i}^{p} C_{ij} z_{i}
◦
∴AB≠BA,(AB)t=BtAt\therefore AB \neq BA, (AB)^{t} = B^{t} A^{t}

Thm 2.11

•
T:V→W,U:W→ZT : V \to W, U : W \to Z 일 때
•
α\alpha는 VV의 기저, β\beta는 WW의 기저, γ\gamma는 ZZ의 기저이면
◦
[UT]αγ=[U]βγ[T]γα[UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma} [T]_{\gamma}^{\alpha}
•
(예제는 교재에 있으므로 생략)

Def. Kronecker delta function

•
δij={1i=j0i≠j\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}
•
n×nn \times n 단위행렬 InI_{n}
◦
(In)ij=δij(I_{n})_{ij} = \delta_{ij}

Zero divisor

•
AB=0⇏A=0∨B=0AB = 0 \nRightarrow A = 0 \vee B = 0
•
Matrix multiplication은 cancellation law가 성립하지 않음
•
ex)
◦
Mod 4에서 2×2=4=02 \times 2 = 4 = 0 따라서 Mode 4에서 2는 0이 아니지만 zero divisor가 됨
◦
Mod 6에서 2×3=6=02 \times 3 = 6 = 0 따라서 Mode 6에서 2, 3는 0이 아니지만 zero divisor가 됨

Def. A:m×nA : m \times n matrix

•
LA:Fn→Fm,x↦AxL_{A} : F^{n} \to F^{m}, x \mapsto Ax
•
왼쪽에 행렬 AA를 곱해주는 LAL_{A}를 left multiplication transformation이라 한다.

Thm 2.13

•
[A⋅B]j−column=A⋅[B]j−column[A \cdot B]_{j-column} = A \cdot [B]_{j-column}
•
[B]j−column=B⋅ej[B]_{j-column} = B \cdot e_{j}

Thm 2.14

•
V,WV, W은 유한차원 벡터공간에서
•
T:V→WT : V \to W이고 VV의 기저가 β\beta, WW의 기저가 γ\gamma일 때, LA:Fn→FmL_{A} : F^{n} \to F^{m}을 만들 수 있다.
◦
이때 VV를 FnF^{n}, WW 를 FmF^{m}로 변환
◦
[T(u)]γ=[T]βγ[u]β[T(u)]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} [u]_{\beta}
•
(예제 생략)

2.4 Invertibility

•
Def)
◦
T:V→WT : V \to W일 때, U:W→VU : W \to V를 TT의 inverse라고 한다.
◦
UT=TU=IUT = TU = I
◦
U=T−1U = T^{-1}
•
inverse가 성립하려면 전단사 함수여야 함.
◦
단사가 아니면 같은 원소가 2개의 정의역을 갖고,
◦
전사가 아니면 정의역에 대응되는 원소가 생기기 때문.
Made with