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이상엽/ 위상수학/ 분리공리

T0,T1,T2T_{0}, T_{1}, T_{2} 공간

정의

•
대표적인 위상적 불변량인 분리공리들을 알아본다.
◦
모든 위상공간은 밀착위상공간에서부터 이산위상공간 사이에 스펙트럼처럼 존재한다.
◦
밀착위상공간의 열린집합은 공집합이거나 자기 자신만 가능
Def 1. [T0T_{0}]
(X,I)(X, \mathfrak{I})가 위상공간이라 하자.
∀x,y∈X,∃U∈I:(x∈U∧y∉U)∨(x∉U∧y∈U)\forall x, y \in X, \exists U \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \vee (x \notin U \wedge y \in U)
을 만족하면 XX가 T0T_{0}라 한다. (단 x≠yx \neq y)
•
T0T_{0}를 도식화 하면 다음과 같다.
•
T0T_{0}공간은 밀착위상 공간의 바로 다음 등급
Def 2. [T1T_{1}]
(X,I)(X, \mathfrak{I})가 위상공간이라 하자.
∀x,y∈X,∃U,V∈I:(x∈U∧y∉U)∧(x∉V∧y∈V)\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \wedge (x \notin V \wedge y \in V)
을 만족하면 XX가 T1T_{1}라 한다. (단 x≠yx \neq y)
•
T1T_{1}를 도식화 하면 다음과 같다.
Def 3. [T2T_{2}(하우스도르프)]
(X,I)(X, \mathfrak{I})가 위상공간이라 하자.
∀x,y∈X,∃U,V∈I:x∈U∧y∈V∧U∩V=∅\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : x \in U \wedge y \in V \wedge U \cap V = \emptyset
을 만족하면 XX가 T2T_{2}라 한다. (단 x≠yx \neq y)
•
T2T_{2}를 도식화 하면 다음과 같다.
•
T0,T1T_{0}, T_{1}, 하우스도르프(T2T_{2})인 위상공간을 각각 간단히 T0T_{0}-공간, T1T_{1}-공간, 하우스도르프공간(T2T_{2}-공간)이라 한다.
•
정의에 의해 자명하게 다음이 성립한다.
◦
하우스도르프공간 ⇒T1\Rightarrow T_{1}-공간 ⇒T0\Rightarrow T_{0}-공간
ex1) 임의의 집합 XX에 대한 밀착위상공간은 T0T_{0}-공간이 아니다.
ex2) 집합 X={1,2,3}X = \{ 1, 2, 3 \} 위의 위상 I={∅,X,{1},{2},{1,2}}\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}에 대하여 위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})는 T0T_{0}-공간이지만 T1T_{1}-공간은 아니다.
ex3) 무한집합 XX에 대한 유한여집합위상 공간은 T1T_{1}-공간이지만 하우스도르프 공간은 아니다.
ex4) 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.
•
하우스도르프 공간부터 위상수학의 의미있는 논의가 가능해짐.
•
최초에 하우스도르프가 위상공간을 정의했을 때 사용했던 공간.
•
T0,T1T_{0}, T_{1}공간은 값이 하나의 값으로 수렴한다는 것이 보장이 안되지만, T2T_{2} 공간은 수렴 값이 하나가 보장 됨.

여러 가지 정리

•
분리공리와 관련한 몇 가지 중요한 정리들을 알아보자.
Thm 1. [위상적불변량]
두 위상 공간 X,YX, Y가 위상동형이면 다음이 성립한다.
1.
XX가 T0T_{0}이다. ⇔Y\Leftrightarrow Y가 T0T_{0}이다.
2.
XX가 T1T_{1}이다. ⇔Y\Leftrightarrow Y가 T1T_{1}이다.
3.
XX가 T2T_{2}이다. ⇔Y\Leftrightarrow Y가 T2T_{2}이다.
Thm  2. [부분공간]
1.
T0T_{0}-공간의 부분공간은 T0T_{0}이다.
2.
T1T_{1}-공간의 부분공간은 T1T_{1}이다.
3.
T2T_{2}-공간의 부분공간은 T2T_{2}이다.
Thm 3. [곱공간]
1.
모든 XαX_{\alpha}가 T0T_{0}-공간이면 Πα∈ΛXα\Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha}도 T0T_{0}이다.
2.
모든 XαX_{\alpha}가 T1T_{1}-공간이면 Πα∈ΛXα\Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha}도 T1T_{1}이다.
3.
모든 XαX_{\alpha}가 T2T_{2}-공간이면 Πα∈ΛXα\Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha}도 T2T_{2}이다.
Thm 4. [T0T_{0}-공간의 성질]
위상공간 XX에 대하여 다음은 동치이다.
1.
XX가 T0T_{0}이다.
2.
∀x,y∈X,{x}‾≠{y}‾\forall x, y \in X, \overline{\{x\}} \neq \overline{\{y\}} (단, x≠yx \neq y)
•
{x}‾\overline{\{x\}}는 xx의 폐포(closure)
Thm 5. [ T1T_{1}-공간의 성질]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.
1.
XX가 T1T_{1}이다.
2.
∀x∈X,X−{x}∈I\forall x \in X, X - \{ x \} \in \mathfrak{I}
•
X−{x}X - \{ x \}은 {x}c\{x\}^{c}이라는 뜻
•
{x}\{ x \}는 닫힌집합. T1T_{1} 공간이면 1점 집합은 닫힌집합이 된다.
•
T1T_{1}은 상당히 상위 클래스이기 때문에 이하 대부분의 공간이 이 성질을 물려 받는다.
Def. [위상공간상의 수렴]
다음을 만족하면 위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})상의 수열 {xn}\{ x_{n} \}이 점 x∈Xx \in X로 수렴한다고 한다.
∀U∈I,x∈U,∃N∈N:n≥N⇒xn∈U\forall U \in \mathfrak{I}, x \in U, \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N \Rightarrow x_{n} \in U
Thm 6. [하우스도르프공간의 성질]
하우스도르프공간상의 수렴하는 수열은 유일한 극한을 갖는다.
ex) X={1,2,3},I={∅,X,{1,3}}X = \{ 1, 2, 3 \}, \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{ 1, 3 \} \} 일 때 다음 수열은 여러 극한을 갖는다.
{xn}:1,3,1,3,1,3...\{ x_{n} \} : 1, 3, 1, 3, 1, 3 ...

T3,T4T_{3}, T_{4} 공간

정의

•
점의 분리성에서 더 나아가 점을 포함한 집합의 분리성을 등급화한다.
•
점을 포함하는 최소 크기의 집합(한점집합)은 1.(2).Thm 5.에 의해 T1T_{1}-공간에서 닫힌집합임을 기억하자.
Def 1. [T3T_{3}(정칙)]
T1T_{1}-공간인 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 임의의 닫힌집합 CC와 점 x∈X−Cx \in X - C에 대하여 ∃U,V∈I:C⊂U∧x∈V∧U∩V=∅\exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge x \in V \wedge U \cap V = \emptyset를 만족하면 XX가 T3T_{3}라 한다.
•
T3T_{3}를 도식화하면 다음과 같다.
Def 2. [T4T_{4}(정규)]
T1T_{1}-공간인 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 임의의 서로소인 닫힌집합 C,DC, D에 대하여 ∃U,V∈I:C⊂U∧D⊂V∧U∩V=∅\exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge D \subset V \wedge U \cap V = \emptyset를 만족하면 XX가 T4T_{4}라 한다.
•
T4T_{4}를 도식화하면 다음과 같다.
•
정칙(T3T_{3}), 정규(T4T_{4})인 위상공간을 각각 가단히 정칙공간, 정규공간이라 한다.
•
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})가 T1T_{1}이라는 조건을 놓치지 않도록 유의하자.
ex1) 집합 X={1,2,3}X = \{ 1, 2, 3 \}에 위상 I={∅,X,{1},{2,3}}\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2, 3\} \}을 준 위상공간 (정칙 공간이지만 T1T_{1}은 아닌 예. 고로 이것은 T3T_{3}가 아니다.)
ex2) 집합 X={1,2,3}X = \{ 1, 2, 3 \}에 위상 I={∅,X,{1},{2},{1,2}}\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}을 준 위상공간 (정규 공간이지만 T1T_{1}은 아닌 예. 고로 이것은 T4T_{4}가 아니다.)

여러 가지 정리

Thm 1. [T3T_{3} -공간 ⇒T2\Rightarrow T_{2}-공간]
모든 정칙공간은 하우스도르프이다.
Thm 2. [T4T_{4}-공간 ⇒T3\Rightarrow T_{3}-공간]
모든 정규공간은 정칙이다.
Thm 3. [거리공간 ⇒T4\Rightarrow T_{4}-공간]
모든 거리공간은 정규이다.
참고) 위상공간들 사이의 관계
Lemma 1. [전단사 사상의 성질]
두 위상공간 X,YX, Y 사이의 전단사사상 f:X→Yf : X \to Y가 열린사상이면 ff는 닫힌사상이기도 하다.
Thm 4. [위상적 불변량]
두 위상공간 X,YX, Y가 위상동형이면 다음이 성립한다.
1.
XX는 정칙공간 ⇔Y\Leftrightarrow Y는 정칙공간
2.
XX는 정규공간 ⇔Y\Leftrightarrow Y는 정규공간
Lemma 2. [부분공간의 닫힌집합]
위상공간 XX의 부분공간 AA에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.
1.
C⊂AC \subset A가 AA의 닫힌집합이다.
2.
C=A∪DC = A \cup D를 만족하는 XX의 닫힌집합 DD가 존재한다.
Lemma 3. [닫힌부분공간의 성질]
위상공간 XX와 B⊂A⊂XB \subset A \subset X에 대하여 BB가 부분공간 AA의 닫힌집합이고 AA가 XX의 닫힌집합이면 BB는 XX의 닫힌집합이다.
Thm 5. [부분공간]
1.
정칙공간의 부분공간은 정칙이다.
2.
정규공간의 닫힌부분공간은 정규이다.
•
정규공간의 부분공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.
Lemma 4. [T3T_{3}-공간의 또 다른 정의]
다음 조건은 T1T_{1}-공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})가 정칙공간이기 위한 필요충분조건이다.
∀x∈X,x∈∀U∈I,∃V∈I:x∈V⊂V‾⊂U\forall x \in X, x \in \forall U \in \mathfrak{I}, \exists V \in \mathfrak{I} : x \in V \subset \overline{V} \subset U
Thm 6. [정칙공간들의 곱공간]
정칙공간들의 곱공간은 정칙이다.
•
정규공간들의 곱공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.
Made with