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이상엽/ 선형대수학/ 고윳값과 대각화

고윳값과 벡터

•
고윳값은 원어(독일어, eigenvalue)로는 특수한 값이라는 뜻이지 유일한 값이라는 뜻은 아니다.

정의

체 FF에 대한 벡터공간 VV 위의 선형사상 L:V→VL : V \to V에 대하여 다음 두 조건
1.
v≠0⃗v \neq \vec{0}
2.
L(v)=λvL(v) = \lambda_{v}
를 만족하는 λ∈F\lambda \in F와 v∈Vv \in V를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다.
•
ex) v=(2,3),L↦M=(1−23−4)v = (2, 3), L \mapsto M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)
◦
L(v)↦Mv=(1−23−4)(23)=(−4−6)=−2(23)L(v) \mapsto Mv = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -4 \\ -6 \end{array} \right) = -2 \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right)
◦
이때 행렬 MM을 곱한 것과 동일한 결과를 가져오는 스칼라 -2가 고윳값이 되며 그때의 벡터가 고유벡터가 된다.

고유방정식

n×nn \times n 행렬 MM에 대하여 λ\lambda가 MM의 고윳값이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식
det(λIn−M)=0det(\lambda I_{n} - M) = 0
을 만족하는 것이다. 이 방정식을 고유방정식이라 하며, 좌변의 식을 고유다항식이라 한다. (단, InI_{n} 는 n×nn \times n 단위 행렬)
•
ex) M=(1−23−4),λ=−2M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), \lambda = -2 일 때,
◦
det(λI2−M)=det(−2(1001)−(1−23−4))det(\lambda I_{2} - M) = det(-2 \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right))
◦
=det(−32−32)=−6+6=0= det \left( \begin{array}{rr} -3 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right) = -6 + 6 = 0
•
ex2) M=(1−23−4)M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)의 고윳값 찾기
◦
det(λI2−M)=det((λ00λ)−(1−23−4))det(\lambda I_{2} - M) = det(\left( \begin{array}{rr} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right))
◦
=det(λ−12−3λ+4)= det \left( \begin{array}{rr} \lambda - 1 & 2 \\ -3 & \lambda + 4 \end{array} \right)
◦
=λ2+3λ+2=(λ+2)(λ+1)=0= \lambda^{2} + 3 \lambda +2 = (\lambda+2)(\lambda+1) = 0
◦
∴λ=−2or−1\therefore \lambda = -2 or -1

고유공간

선형사상 λIv−L\lambda I_{v} - L의 핵을 λ\lambda의 고유공간이라 한다. (단, IvI_{v}는 항등사상)
따라서 고유공간의 영벡터가 아닌 벡터는 고유벡터이다.
또한 LL의 고유벡터들로 구성된 VV의 기저를 선형사상 LL의 고유기저라 한다.
•
ex) M=(1−23−4),λ=−1M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), \lambda = -1 일 때,
◦
(λIn−M)v=0(\lambda I_{n} - M) v = 0
◦
⇔(−(1001)−(1−23−4))⋅(v1v2)=0\Leftrightarrow (-\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)) \cdot \left( \begin{array}{rr} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right) = 0
◦
⇔(−22−33)⋅(v1v2)=0\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right) = 0
◦
∴{v1=sv2=s\therefore \begin{cases} v_{1} = s \\ v_{2} = s \end{cases}
◦
v=s(11)v = s \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right)
◦
즉, 고유벡터는 (s,s)(s≠0)(s, s) (s \neq 0), 고유기저 = {(1,1)}M\{ (1, 1) \}M
•
ex) M=(00−2121103)M = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right)의 고윳값, 고유벡터, 고유기저 구하기
◦
고윳값 구하기
▪
det(λI3−M)=det(λ02−1λ−2−1−10λ−3)det(\lambda I_{3} - M) = det \left( \begin{array}{rrr} \lambda & 0 & 2 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & 0 & \lambda-3 \end{array} \right)
▪
=λ(λ2−5λ+6)+2(λ−2)= \lambda (\lambda^{2} - 5 \lambda + 6) + 2 (\lambda - 2)
▪
=λ3−5λ2+8λ−4=(λ−1)(λ−2)2=0= \lambda^{3} - 5 \lambda^{2} + 8 \lambda - 4 = (\lambda - 1)(\lambda-2)^{2} = 0
▪
∴λ=1or2\therefore \lambda = 1 or 2
◦
λ=1\lambda = 1 일 때 고유벡터 구하기
▪
(λI3−M)v=0(\lambda I_{3} - M) v = 0
▪
⇔(102−1−1−1−10−2)(v1v2v3)=0\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array} \right) = 0
▪
∴{v1=−2sv2=sv3=s\therefore \begin{cases} v_{1} = -2s \\ v_{2} = s \\ v_{3} = s \end{cases}
▪
v=s⋅(−211)v = s \cdot \left( \begin{array}{rrr} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
▪
즉, 고유벡터는 (−2s,s,s),(s≠0)(-2s, s, s), (s \neq 0) 고유기저 = {(−2,1,1)}\{ (-2, 1, 1) \}
◦
λ=2\lambda = 2 일 때 고유벡터 구하기
▪
(2I3−M)v=0(2 I_{3} - M) v = 0
▪
⇔(202−10−1−10−1)(v1v2v3)=0\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array} \right) = 0
▪
∴{v1=−rv2=tv3=r\therefore \begin{cases} v_{1} = -r \\ v_{2} = t \\ v_{3} = r \end{cases}
▪
v=t⋅(010)+r⋅(−101)v = t \cdot \left( \begin{array}{rrr} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{rrr} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
▪
즉, 고유벡터는 (−r,t,r),(s≠0,t≠0,r≠0)(-r, t, r), (s \neq 0, t \neq 0, r \neq 0), 고유기저 = {(0,1,0),(−1,0,1)}\{ (0, 1, 0), (-1, 0, 1) \}

대각화

대각화

정의

두 정사각행렬 A,BA, B에 대하여 방정식
B=P−1APB = P^{-1}AP
를 만족하는 대각행렬 BB와 가역행렬 PP가 존재하면 행렬 AA는 대각화 가능행렬이라고 한다. 또한 이 경우 행렬 PP는 AA를 대각화한다고 한다.
•
ex) A=(1−23−4),P=(1213)A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right), P = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) 일 때,
◦
P−1=(3−2−11)P^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{array} \right)
◦
P−1AP=(3−2−11)(1−23−4)(1213)P^{-1}AP = \left( \begin{array}{rr} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)
◦
=(−100−2)=B= \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) = B
◦
이런 결과는 다시 생각해 보면 AA 라는 선형사상(행렬)은 PBP−1PBP^{-1} 이라는 선형사상으로 분해가 가능하다는 뜻이 되기도 한다.

정리

n×nn \times n 행렬 AA에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.
1.
AA는 대각화 가능 행렬이다.
2.
AA는 nn개의 선형독립인 고유벡터를 갖는다.

대각화하는 방법

n×nn \times n 행렬 AA에 대하여
1.
Step 1
•
nn개의 선형독립인 고유벡터를 찾아 대각화 가능 행렬인지 확인한다.
•
(고유벡터의 갯수가 nn개가 안되면 대각화 가능하지 않음)
2.
Step 2
•
nn개의 고유벡터 v1,v2,...,vnv_{1}, v_{2}, ... , v_{n}로부터 행렬 P=(v1,v2,...,vn)P = (v_{1}, v_{2}, ... , v_{n})를 만든다.
3.
Step 3
•
P−1APP^{-1}AP는 대각행렬이 된다.
•
ex) A=(2102)A = \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)이 대각화 가능한지 확인
◦
고윳값 구하기
▪
det(λI2−A)=det(λ−2−10λ−2)det(\lambda I_{2} - A) = det \left( \begin{array}{rr} \lambda - 2 & -1 \\ 0 & \lambda-2 \end{array} \right)
▪
=(λ−2)2=0= (\lambda - 2)^{2} = 0
▪
∴λ=2\therefore \lambda = 2
◦
고유벡터 구하기
▪
(2I2−A)v=0(2 I_{2} - A) v = 0
▪
⇔(0−100)(v1v2)=0\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} v_{1} \\ v_{2} \end{array} \right) = 0
▪
v=s⋅(10)v = s \cdot \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 0 \end{array} \right)
▪
즉, 고유벡터는 (s,0),(s≠0)(s, 0), (s \neq 0), 고유기저 = {(1,0)}\{ (1, 0) \}
▪
고유기저가 1개 밖에 안나오므로 AA는 대각화 불가능
•
ex2) A=(1−23−4)A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)에 대한 PP 찾기
◦
∴{λ=−1⇒(s,s)→P1=(11)λ=−2⇒(2t,3t)→P2=(23)\therefore \begin{cases} \lambda = -1 \Rightarrow (s, s) \to P_{1} = \left( \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ \lambda = -2 \Rightarrow (2t, 3t) \to P_{2} = \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 3 \end{array} \right) \end{cases}
◦
∴P=(P1P2)=(1213)\therefore P = (P_{1} P_{2}) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)

중복도

정의

λ0\lambda_{0}가 n×nn \times n 행렬 AA의 고윳값이면 이에 대응하는 고유공간의 차원을 λ0\lambda_{0}의 기하적 중복도라 한다.
또한 AA의 고유다항식에서 λ−λ0\lambda - \lambda_{0}가 인수로 나타나는 횟수를 λ0\lambda_{0}의 대수적 중복도라 한다.
•
ex)
◦
기하적 중복도는 대수적 중복도보다 작거나 같음. 그 둘이 같을 때 그 행렬은 대각화 가능이 된다.

정리

정사각행렬 AA에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.
1.
AA는 대각화 가능 행렬이다.
2.
AA의 모든 고윳값에 대해서 기하적 중복도와 대수적 중복도는 같다.

닮음 불변량

정의

두 정사각행렬 A,BA, B에 대하여
B=P−1APB = P^{-1}AP
를 만족하는 가역행렬 PP가 존재하면 A,BA, B는 서로 닮은 행렬이라 하고 기호로 A∼BA \sim B라 표현한다.

닮은 불변량

서로 닮은 두 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다.
1.
행렬식
2.
가역성
3.
rank
4.
nullity
5.
고유다항식
6.
고윳값
7.
고유공간의 차원
8.
대각성분들의 합
9.
대수적 중복도
10.
기하적 중복도
11.
...

C-H 정리

임의의 정사각행렬 AA와 그 고유다항식
f(λ)=det(λI−A)=∑i=0naiλif(\lambda) = det(\lambda I - A) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} \lambda^{i}
에 대하여 f(A)=0f(A) = 0이 성립하며, 이를 케일리-해밀턴 정리라고 한다. (단, 00는 영행렬)
•
ex) A=(1−23−4)A = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) 일 때
◦
f(λ)=det(λI2−A)=det((λ−12−3λ+4))f(\lambda) = det(\lambda I_{2} - A) = det( \left( \begin{array}{rr} \lambda - 1 & 2 \\ -3 & \lambda + 4 \end{array} \right))
◦
=λ2+3λ+2= \lambda^{2} + 3 \lambda + 2
◦
f(A)=(1−23−4)2+3(1−23−4)+2(1001)=0f(A) = \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right)^{2} + 3 \left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = 0
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