김영길/ 선형대수학/ basis, dimension, linear transformation

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(예제 생략)

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Pn(F)P_{n}(F)Pn​(F)이란 nnn차 이하 다항식들의 집합이라는 뜻

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Pn(F)P_{n}(F)Pn​(F)의 차원은 n+1n+1n+1이 된다.

Corollary 2. $dim(V) = n$

벡터공간의 차원이 n(dim(V)=n)n (dim(V) = n)n(dim(V)=n)이라면 기저는 nnn개의 벡터를 가져야 한다.

벡터공간 VVV의 부분집합이 선형독립이고 nnn개의 벡터를 가졌다면 기저이다.

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VVV는 유한차원 벡터공간이고, WWW가 VVV의 부분공간이라면

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dim(V)<∞,W<Vdim(V) < \infty, W < Vdim(V)<∞,W<V

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dim(W)≤dim(V)dim(W) \leq dim(V)dim(W)≤dim(V)

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dim(W)=dim(V)⇒V=Wdim(W) = dim(V) \Rightarrow V = Wdim(W)=dim(V)⇒V=W

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정의) FFF를 체로 하는 벡터공간 V,WV, WV,W에 대하여

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함수 TTT를 T:V→WT: V \to WT:V→W라 하면 VVV를 정의역(domain) WWW를 공역(codomain)이 된다.

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TTT가 VVV에서 WWW로 가는 선형변환이려면 다음이 성립해야 한다.

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∀x,y∈V,c∈F\forall x, y \in V, c \in F∀x,y∈V,c∈F

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T(x+y)=T(x)+T(y)T(x + y) = T(x) + T(y)T(x+y)=T(x)+T(y)

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T(cx)=cT(x)T(cx) = cT(x)T(cx)=cT(x)

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T(0)=0T(0) = 0T(0)=0

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(원점을 지나야 한다. 직선이라도 T(0)=0T(0) = 0T(0)=0이 안되면 non-linear 라고 한다. ex) 커브 등)

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T(cx+y)=cT(x)+T(y)(∀x,y∈V,c∈F)T(cx + y) = cT(x) + T(y) (\forall x, y \in V, c \in F)T(cx+y)=cT(x)+T(y)(∀x,y∈V,c∈F)

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(더하기와 상수곱을 한 번에 적용해서 선형인지 아닌지를 한 번에 확인)

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T(x−y)=T(x)−T(y)T(x - y) = T(x) - T(y)T(x−y)=T(x)−T(y)

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T(∑i=1naixi)=∑i=1naiT(xi)T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}T(x_{i})T(∑i=1n​ai​xi​)=∑i=1n​ai​T(xi​)

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(예제 생략 - 일반 연산, 회전, 대칭, 투영, 미분, 정적분(부정적분은 상수가 튀어 나오기 때문에 선형이 아니다))의 변환에 대해서 선형임을 증명하는 예)

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(변환 전에 더하기를 하나, 변환 후에 더하기를 하나 결과가 같다는 것을 보이면 선형이라는 것의 증명이 된다.)

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(변환 전에 상수곱을 하나, 변환 후에 상수곱을 하나 결과가 같다는 것을 보이면 선형이라는 것의 증명이 된다.)