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이상엽/ 해석학/ 극한과 연속

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

함수의 극한

무한소와 극한

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무한소란 '무한히 작은 수'를 일컫는 직관적인 개념으로 고전적으로 미적분을 설명하기 위해 쓰였다.
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아르키메데스가 최초로 정립함. 이를 뉴턴과 라이프니츠가 이용해서 미적분학을 정립
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무한소는 미적분을 설명하는 도구이지만, 극한을 설명하는 동구는 아니다.
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실수체에는 무한소가 존재하지 않으며 ϵ−δ\epsilon-\delta 논법으로 정의된 극한으로써 미적분을 설명한다.
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예전에는 무한소를 이용해서 미적분을 설명했지만 ϵ−δ\epsilon-\delta 논법이 등장한 이후 극한으로 미적분을 설명함으로써 무한소는 수학계에서 사용되지 않음
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초실수체에서는 무한소로써 미적분을 설명 가능하다. (비표준 해석학)
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초실수체는 무한소를 공리로 받아들임. 초실수체는 순서체일 뿐 완비순서체가 아님. 조밀성이 성립하지 않음.
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비표준 해석학에서는 미적분을 무한소로 정의할 뿐. 극한으로 설명하지는 않는다. 무한소와 극한은 양립 불가능한 개념

극한의 정의

Def 1. [수렴과 극한(값)]
f:D→R,a∈D,L∈Rf : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}라 하자
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x∈D,0<∥x−a∥<δ⇒∥f(x)−L∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 < \| x - a \| < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon
이 성립하면 ff는 x=ax = a에서 극한(값) LL로 수렴한다고 하고 lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L로 표기한다.
수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.
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∥x−a∥\| x - a \|가 0이 되어버리면 f(a)f(a)가 되어버리기 때문에 ∥x−a∥\| x - a \|는 극한을 정의하기 위해서는 반드시 0보다 커야 함.
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∀ϵ>0\forall \epsilon > 0에 대하여 ∥f(x)−L∥<ϵ\| f(x) - L \| < \epsilon가 성립하려면 ∥f(x)−L∥\| f(x) - L \|는 0이 되어야 한다.
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고로 극한값 LL은 f(a)f(a)의 값과 완전히 동일한다. LL 이 f(a)f(a)에 다가가는 것이 아니다. 둘은 완전히 같다.
Def 2. [우극한과 좌극한]
f:D→R,a∈D,L∈Rf : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}라 하자
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x∈D,0<x−a<δ⇒∥f(x)−L∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 < x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon
이 성립하면 ff는 x=ax=a에서 우극한 LL을 갖는다고 하고 lim⁡x→a+f(x)=f(a+)=L\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a{+}) = L로 표기한다.
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x∈D,0<a−x<δ⇒∥f(x)−L∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 < a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon
이 성립하면 lim⁡x→a−f(x)=f(a−)=L\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a{-}) = L (좌극한)
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우극한은 xx가 aa보다 큰거고, 좌극한은 xx가 aa보다 작은 것
Def 3.
a,L∈Ra, L \in \mathbb{R}라 하자
1.
∀ϵ>0,∃N∈R:x≥N⇒∥f(x)−L∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{R} : x \geq N \Rightarrow \|f(x) - L\| < \epsilon 일 때 lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L
2.
∀M>0,∃δ>0,:0<∥x−a∣ <δ⇒f(x)>M\forall M > 0, \exists \delta > 0, : 0 < \|x - a|\ < \delta \Rightarrow f(x) > M 일 때 lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty&s=2$
3.
∀M>0,∃N∈R:x≥N⇒f(x)>M\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{R} : x \geq N \Rightarrow f(x) > M 일 때 lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty
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일반적으로 임의의 작은 양수는 ϵ\epsilon을 쓰고 임의의 큰 양수는 MM을 쓴다.

극한의 연산

A,B∈RA, B \in \mathbb{R} 이고 f,g:D→Rf, g : D \to \mathbb{R} 이며 DD라 하자.
lim⁡x→af(x)=A,lim⁡x→ag(x)=B\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B 이면 다음이 성립한다.
1.
lim⁡x→af(x)+g(x)=A+B\lim_{x \to a} { f(x) + g(x) } = A + B
2.
lim⁡x→af(x)−g(x)=A−B\lim_{x \to a} { f(x) - g(x) } = A - B
3.
lim⁡x→af(x)g(x)=AB\lim_{x \to a} f(x) g(x) = AB
4.
lim⁡x→af(x)g(x)=AB\lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = {A \over B}
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삼각부등식
◦
∥a+b∥≤∥a∥+∥b∥\| a + b \| \leq \|a\| + \|b\|
◦
∥a−b∥≥∥a∥−∥b∥\| a - b \| \geq \|a\| - \|b\|

주요 정리

Thm 1. [극한의 유일성]
f:D→R,a∈Df : D \to \mathbb{R}, a \in D 일 때 lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)가 수렴하면 그 극한값은 유일하다.
Thm 2. [샌드위치 정리]
∀x∈D,f(x)≤g(x)≤h(x)\forall x \in D, f(x) \leq g(x) \leq h(x) 이고
L∈RL \in \mathbb{R} 일 때 lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ah(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L 이면 lim⁡x→ag(x)=L\lim_{x \to a} g(x) = L 이다.

함수의 연속

•
극한과 함수값이 같을 때 연속이라고 정의

연속의 정의

Def 1. [점 연속]
f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 이고 a∈Da \in D 라 하자.
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x∈D,∥x−a∥<δ⇒∥f(x)−f(a)∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon
이 성립하면 ff는 x=ax = a에서 연속이라 한다.
•
a∈Da \in D라는 것이 f(a)f(a)가 정의된다는 뜻
•
극한과 다른 부분이 ∥x−a∥<δ\|x-a\| < \delta 부분으로, 극한에서는 0보다 커야 하지만 연속에서는 0이 됨.
•
∥x−a∥<δ⇒∥f(x)−f(a)∥<ϵ\|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon 은 f(a)=lim⁡x→af(x)f(a) = \lim_{x \to a} f(x)와 동일한 의미. aa에서의 f(x)f(x)의 극한 값이 f(a)f(a) 와 동일하다.
ex) D={0,1,2,3}D = \{ 0, 1, 2, 3 \}일 때, f:D→R,f(x)=−x+3f : D \to \mathbb{R}, f(x) = -x + 3 이면 ff는 x=2x = 2에서 연속임을 증명하라
∀ϵ>0\forall \epsilon > 0 Let. δ=12(>0)\delta = { 1 \over 2 } ( > 0)
Then. ∥x−2∥<δ(=12) ∀ϵ>0\| x - 2 \| < \delta (= {1 \over 2}) \ \forall \epsilon > 0, let δ=12⇒x=2∈D\delta = { 1 \over 2 } \Rightarrow x = 2 \in D
∴∥f(x)−f(2)∥=∣ f(2)−f(2)∣=0<ϵ\therefore \| f(x) - f(2) \| = |\ f(2) - f(2) | = 0 < \epsilon
위 정의역의 원소들은 불연속적이지만, x=2x = 2 일 때 연속임이 증명된다.
Def 2. [우연속과 좌연속]
f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 이고 a∈Da \in D라 하자.
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x∈D,0≤x−a<δ⇒∥f(x)−f(a)∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 \leq x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon
이 성립하면 ff는 x=ax = a에서 우연속이라 한다.
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x∈D,0≤a−x<δ⇒∥f(x)−f(a)∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, 0 \leq a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon
이 성립하면 ff는 x=ax = a에서 좌연속이라 한다.
Def 3. [연속함수]
f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 이고 X⊆DX \subseteq D 라 하자.
1.
만약 ff가 XX의 모든 점에서 연속이면 ff는 XX에서 연속이라 한다.
2.
만약 ff가 XX의 모든 점에서 연속이면 ff는 연속함수라 한다.
•
모든 점에서 연속임을 증명 하는 방법
1.
x=ax = a에서 연속임을 보인다.
2.
aa가 정의역에서 임의의 점임을 보인다.
Def 4. [불연속점의 종류]
f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 이고 a∈Da \in D 라 하자.
[제 1종 불연속점]
1.
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a−f(x)≠f(a)\lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) \neq f(a)인 x=ax = a를 제거 가능 불연속점이라 한다.
•
그 한 점에서만 새로 정의를 해주면 연속으로 만들 수 있다.
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전체에서 문제가 되는 점이 한 점 뿐이라면 (수학에서도) 무시할 수 있다.
2.
lim⁡x→a+f(x)≠lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^{+}} f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}} f(x) 인 x=ax = a 를 비약 불연속점이라 한다.
[제 2종 불연속점]
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^{+}} f(x) 와 lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^{-}} f(x) 중에 적어도 하나가 존재하지 않는다.

균등 연속 (uniformly continuous)

Def. [균등 연속]
f:D→Rf : D \to \mathbb{R} 이라 하자.
∀ϵ>0,∃δ>0:∀x,y∈D,∥x−y∥<δ⇒∥f(x)−f(y)∥<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, y \in D, \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| < \epsilon
이 성립하면 ff는 DD 에서 균등 연속이라 한다.
Thm. ff가 DD에서 균등 연속이면 연속이다.

연속함수의 연산

a∈Da \in D 이고 f,g:D→Rf, g : D \to \mathbb{R}가 x=ax = a 에서 연속일 때 다음이 성립한다.
1.
f+gf + g는 x=ax = a에서 연속이다.
2.
f−gf - g는 x=ax = a에서 연속이다.
3.
fgfg는 x=ax = a에서 연속이다.
4.
g(a)≠0g(a) \neq 0 이면 fg{f \over g} 는 x=ax = a에서 연속이다.

주요 정리

Thm 1. [최대 최소정리]
ff가 [a,b][a, b]에서 연속
⇒∃a0,b0∈[a,b]:∀x∈[a,b],f(a0)≤f(x)≤f(b0)\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})
•
연속인 구간 내에서 반드시 최대, 최소를 정의할 수 있다.
Thm 2. [사잇값(중간값) 정리]
ff가 [a,b][a, b]에서 연속이고
f(a)<f(b)⇒∃c∈(a,b):f(a)<p<f(b),f(c)=pf(a) < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) : f(a) < p < f(b), f(c) = p
f(b)<f(a)f(b) < f(a) 이면 f(b)<p<f(a)f(b) < p < f(a)
•
연속인 구간 내의 두 함수 값 사이에 반드시 값이 존재한다.
Made with