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데코수학/ 벡터미적분학
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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 곡선적분
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Duplicate
데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 곡선적분
(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)
개념
•
벡터장
F
⃗
:
R
n
→
R
n
\vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}
F
:
R
n
→
R
n
, 곡선
C
⊆
R
n
C \subseteq \mathbb{R}^{n}
C
⊆
R
n
(
C
C
C
: 조각적으로 미분가능,
F
⃗
\vec{F}
F
: 연속)
◦
선 C가 조각적으로 미분가능이므로 선 C 위에 있는 점을
x
⃗
1
,
x
⃗
2
,
.
.
.
,
x
⃗
n
\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, ... , \vec{x}_{n}
x
1
,
x
2
,
...
,
x
n
으로 분할 하면 i번째 조각은
x
⃗
i
−
x
⃗
i
−
1
\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}
x
i
−
x
i
−
1
이 되고,
◦
이때 이 조각을 이동하는데 받은 일의 양은
F
⃗
(
x
⃗
i
)
⋅
(
x
⃗
i
−
x
⃗
i
−
1
)
\vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1})
F
(
x
i
)
⋅
(
x
i
−
x
i
−
1
)
가 된다.
◦
그러므로 C를 이동하면서 받은 총 일의 양은
∑
i
=
1
n
F
⃗
(
x
⃗
i
)
⋅
(
x
⃗
i
−
x
⃗
i
−
1
)
\sum_{i = 1}^{n} \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1})
∑
i
=
1
n
F
(
x
i
)
⋅
(
x
i
−
x
i
−
1
)
이다.
◦
조각들의 길이가 0이 되도록 분할하면
∫
x
⃗
∈
C
F
⃗
(
x
⃗
)
⋅
d
x
⃗
\int_{\vec{x} \in C} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d \vec{x}
∫
x
∈
C
F
(
x
)
⋅
d
x
가 된다.
•
C
:
α
⃗
(
t
)
,
a
≤
t
≤
b
C : \vec{\alpha}(t), a \leq t \leq b
C
:
α
(
t
)
,
a
≤
t
≤
b
로 매개화 된 경우, C를
α
⃗
(
t
0
)
,
α
⃗
(
t
1
)
,
.
.
.
,
α
⃗
(
t
n
)
\vec{\alpha}(t_{0}), \vec{\alpha}(t_{1}), ... , \vec{\alpha}(t_{n})
α
(
t
0
)
,
α
(
t
1
)
,
...
,
α
(
t
n
)
로 분할
◦
∑
i
=
1
n
F
⃗
(
α
⃗
(
t
i
)
)
⋅
(
α
⃗
(
t
i
)
−
α
⃗
(
t
i
−
1
)
)
\sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot (\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}))
∑
i
=
1
n
F
(
α
(
t
i
))
⋅
(
α
(
t
i
)
−
α
(
t
i
−
1
))
◦
=
∑
i
=
1
n
F
⃗
(
α
⃗
(
t
i
)
)
⋅
(
α
⃗
(
t
i
)
−
α
⃗
(
t
i
−
1
)
(
t
i
−
t
i
−
1
)
(
t
i
−
t
i
−
1
)
)
= \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot ({\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}) \over (t_{i} - t_{i-1})} (t_{i} - t_{i-1}))
=
∑
i
=
1
n
F
(
α
(
t
i
))
⋅
(
(
t
i
−
t
i
−
1
)
α
(
t
i
)
−
α
(
t
i
−
1
)
(
t
i
−
t
i
−
1
))
◦
=
∫
a
b
F
⃗
(
α
⃗
(
t
)
)
⋅
α
⃗
˙
(
t
)
d
t
= \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{\alpha}(t)) \cdot \dot{\vec{\alpha}}(t) dt
=
∫
a
b
F
(
α
(
t
))
⋅
α
˙
(
t
)
d
t
