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데코수학/ 집합론/ 함수

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

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개념

•
함수는 관계 중에 아래와 같은 정의를 만족하는 관계
◦
관계 f:X→Yf : X \to Y를 함수라고 부른다. (XX는 정의역, YY는 공역)
▪
Dom(f)=XDom(f) = X
▪
(a,b)∈F,(a,c)∈f⇒b=c(a, b) \in F, (a, c) \in f \Rightarrow b = c
◦
(a,b)∈f⇔b=f(a)(a, b) \in f \Leftrightarrow b = f(a)
•
함수로서 같음
◦
함수 f:X→Yf : X \to Y, 함수 g:X→Yg : X \to Y 일 때
▪
f=g⇔∀x∈X,f(x)=g(x)f = g \Leftrightarrow \forall x \in X, f(x) = g(x)
◦
만일 두 함수 f:X→Y,g:X→Wf : X \to Y, g : X \to W 일 때 g(x)=f(x)g(x) = f(x) 라도 두 함수는 같지 않을 수 있다.
▪
f:R→R,f(x)=x2f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^{2}
▪
g:R→{x∣x≥0},g(x)=x2g : \mathbb{R} \to \{x | x \geq 0 \}, g(x) = x^{2}
▪
두 함수가 위와 같이 정의되었다면 두 함수는 집합으로써 같을지라도 함수 자체는 같지 않다.
•
f:A→B,g:C→D,x∈A∩C,f(x)=g(x)f : A \to B, g : C \to D, x \in A \cap C, f(x) = g(x) 이면,
◦
f∪g:A∪C→B∪Df \cup g : A \cup C \to B \cup D 는 함수이고
◦
(f∪g)(x)={f(x)(x∈A)g(x)(x∈C)(f \cup g)(x) = \begin{cases} f(x) (x \in A) \\ g(x) (x \in C) \end{cases} 이다.
▪
쉬운 예로는f(x)={x2(x<0)x(x≥0)f(x) = \begin{cases} x^{2} (x < 0) \\ x (x \geq 0) \end{cases} xx가 00보다 작을 때와 클 때가 따로 정의되는 함수
•
f:X→Y,A⊆X,B⊆Yf : X \to Y, A \subseteq X, B \subseteq Y일 때,
◦
f(A)={f(x)∣x∈A}f(A) = \{ f(x) | x \in A \} (상)
◦
f−1(B)={x∣f(x)∈B}f^{-1}(B) = \{ x | f(x) \in B \} (역상)
▪
예를 들면 f(x)=x2:R→Rf(x) = x^{2} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 일 때
▪
A={1,2,3,4}A = \{ 1, 2, 3, 4 \} 라고 하면 AA의 상 f(A)={1,4,9,16}f(A) = \{ 1, 4, 9, 16 \}이고
▪
B={1,2}B = \{ 1, 2 \} 라고 하면 BB의 역상 f−1(B)={−1,1,−2,2}f^{-1}(B) = \{ -1, 1, -\sqrt{2}, \sqrt{2} \}

함수식

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f:X→Yf : X \to Y 일 때,
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A⊆XA \subseteq X 일 때, x∈A⇒f(x)∈f(A)x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A)
◦
B⊆YB \subseteq Y 일 때, x∈f−1(B)⇔f(x)∈Bx \in f^{-1}(B) \Leftrightarrow f(x) \in B
◦
f(∅)=∅f(\emptyset) = \emptyset
◦
f({x})={f(x)}f(\{x\}) = \{ f(x) \}
◦
A⊆B⊆X⇒f(A)⊆f(B)A \subseteq B \subseteq X \Rightarrow f(A) \subseteq f(B)
◦
C⊆D⊆X⇒f−1(C)⊆f−1(D)C \subseteq D \subseteq X \Rightarrow f^{-1}(C) \subseteq f^{-1}(D)
•
F⊆P(X)F \subseteq P(X) 일 때, (P(X)P(X)는 XX의 멱집합 즉, XX의 모든 부분집합들의 집합)
◦
f(∪A∈FA)=∪A∈Ff(A)f(\cup_{A \in F} A) = \cup_{A \in F} f(A)
▪
AA의 합집합에 대한 함수는 AA에 대한 모든 함수의 합집합과 같다.
◦
f(∩F)⊆∩A∈Ff(A)f(\cap F) \subseteq \cap_{A \in F} f(A)
▪
FF의 교집합에 대한 함수는 AA에 대한 모든 함수의 교집합에 부분집합이다.
◦
f−1(∪F)=∪A∈Ff−1(A)f^{-1}(\cup F) = \cup_{A \in F} f^{-1} (A)
▪
FF의 합집합의 역상은 AA에 대한 모든 함수의 역상의 합집합과 같다.
◦
f−1(∩F)=∩A∈Ff−1(A)f^{-1}(\cap F) = \cap_{A \in F} f^{-1}(A)
▪
FF의 교집합에 대한 역상은 AA에 대한 모든 역상의 교집합과 같다. (역상에 대해서는 부분집합이 아니라 같음)
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