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데코수학/ 벡터미적분학/ 벡터의 가위곱

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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3차원 직교좌표계 (a,b,c)=ax^+by^+cz^(a, b, c) = a \hat{x} + b \hat{y} + c \hat{z} 에 대한 Cross Product는
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u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}
▪
=∣x^y^z^u1u2u3v1v2v3∣= \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right|
▪
=∣u2u3v2v3∣x^+∣u1u3v1v3∣y^+∣u1u2v1v2∣z^= \left| \begin{array}{rr} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{array} \right| \hat{x} + \left| \begin{array}{rr} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{array} \right| \hat{y} + \left| \begin{array}{rr} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{array} \right| \hat{z}
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=(u2v3−u3v2)x^+(u1v3−u3v1)y^+(u1v2−u2v1)z^= (u_2 v_3 - u_3 v_2) \hat{x} + (u_1 v_3 - u_3 v_1) \hat{y} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \hat{z}
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=(u2v3−u3v2,u1v3−u3v1,u1v2−u2v1)= (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_1 v_3 - u_3 v_1, u_1 v_2 - u_2 v_1)
▪
∵∣abcd∣=ad−bc\because \left| \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right| = ad - bc
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u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} 의 기하학적 정의
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크기: ∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin \theta
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두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 됨
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방향: u⃗\vec{u}에서 v⃗\vec{v}방향으로 돌아가는 오른손 엄지 방향
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Cross Product가 오른손 방향인 이유는 2차원일 때 이미 오른손 방향을 따랐기 때문. 거기서 Cross Product를 하면 3차원의 방향이 자연스럽게 결정된다.
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180도를 넘으면 방향이 반대가 됨
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Cross Product는 회전력 (Torque)을 구하기 위해 사용
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두 벡터를 Dot Product를 하면 스칼라가 나오지만, 두 벡터를 Cross Product 하면 벡터가 나온다.

벡터식

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(Cross Product는 안되는 연산이 많다)
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u⃗×0⃗=0⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{u} = \vec{0}
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u⃗×v⃗=−v⃗×u⃗\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}
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(αu⃗)×v⃗=α(u⃗×v⃗)(\alpha \vec{u}) \times \vec{v} = \alpha (\vec{u} \times \vec{v})
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u⃗×(v⃗+w⃗)=(u⃗×v⃗)+(u⃗×w⃗)\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \times \vec{w})
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u⃗×v⃗=0⇔u⃗//v⃗\vec{u} \times \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} // \vec{v}
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// 는 평행
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∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2\|\vec{u} \times \vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} \|\vec{v}\|^{2} - (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2}
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u⃗⋅(v⃗×w⃗)=v⃗⋅(u⃗×w⃗)=w⃗⋅(u⃗×v⃗)\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) = \vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})
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스칼라 3중곱. 결과가 스칼라가 되기 때문
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u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}
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벡터 3중곱. 결과가 벡터가 됨. 우변의 괄호 안의 결과가 스칼라가 되기 때문에 괄호 안의 결과와 벡터의 곱은 dot product가 아니라 상수곱이 된다.
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u⃗⋅(u⃗×v⃗)=v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0⃗\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{0}
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다른 벡터와 cross product를 한 후에 다시 자기 자신과 dot product를 하면 0벡터가 된다. 수직이라는 이야기.
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