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김영길/ 선형대수학/ nullspace, range, nullity, rank, dimension theorem

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Identity transformation
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IV:V→VI_{V}: V \to V
◦
x↦xx \mapsto x
◦
(자기 자신으로 보내는 변환)
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Zero transformation
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T0:V→WT_{0}: V \to W
◦
x↦0x \mapsto 0
◦
(0으로 보내는 변환)
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T:V→WT: V \to W 에 대하여 Nullspace N(T)N(T)는 다음과 같다.
◦
N(T)={x∈V:T(x)=0}N(T) = \{ x \in V : T(x) = 0 \}
◦
(VV에서 WW로 가는 선형 변환 TT에 대하여 T(x)T(x)가 00이 되는 원소들의 집합을 Nullspace N(T)N(T)라 한다.)
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Range(치역) R(T)R(T)의 정의는 다음과 같다.
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R(T)={T(x):x∈V}R(T) = \{ T(x) : x \in V \}
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Ex)
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I:V→V,x↦xI: V \to V, x \mapsto x 일 때
▪
N(I)={0}N(I) = \{0\}
▪
R(I)=VR(I) = V
◦
T0:V→W,x↦0T_{0} : V \to W, x \mapsto 0 일 때
▪
N(T0)=VN(T_{0}) = V
▪
R(T0)={0}R(T_{0}) = \{0\}

Thm 2.1

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T:V→WT: V \to W의 선형변환에서 N(T)N(T)는 VV의 부분공간이고, R(T)R(T)는 WW 의 부분공간이다.
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(널공간은 VV에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀있고, 치역은 WW에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀 있다는 증명 생략)

Thm 2.2

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T:V→WT : V \to W의 선형변환에서 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}가 VV의 기저일 때
◦
R(T)=span(T(β))=span({T(v1),T(v2),...,T(vn)})R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n})\})
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증명)
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R(T)⊃span(T(β))R(T) \supset span(T(\beta))의 증명
▪
∀i,T(vi)∈R(T)\forall i, T(v_{i}) \in R(T)
▪
R(T)R(T)는 WW의 부분공간이므로
▪
span(T(β))⊂R(T)span(T(\beta)) \subset R(T)
◦
R(T)⊂span(T(β))R(T) \subset span(T(\beta))의 증명
▪
w∈R(T):w=T(v)∃v∈Vw \in R(T) : w = T(v) \exists v \in V
▪
β\beta는 VV의 기저이므로
▪
v=∑i=1naiviv = \sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}
▪
양변에 TT를 취하면
▪
w=T(v)=∑i=1naiT(vi)∈span(T(β))w = T(v) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} T(v_{i}) \in span(T(\beta))
▪
R(T)⊂span(T(β))R(T) \subset span(T(\beta))
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∴R(T)=span(T(β))\therefore R(T) = span(T(\beta))

Thm 2.3 Dimension Theorem

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dim(N(T))=nullity,dim(R(T))=rankdim(N(T)) = nullity, dim(R(T)) = rank 라 하자.
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T:V→W,dim(V)<∞T : V \to W, dim(V) < \infty 일때
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nullity(T)+rank(T)=dim(V)nullity(T) + rank(T) = dim(V)
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VV에서 WW로 가는 선형변환 TT에서 널공간과 치역의 차원을 합하면 정의역의 차원이 된다.
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증명)
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dim(V)=ndim(V) = n이라 할 때 N(T)<VN(T) < V이므로 dim(N(T))=k≤ndim(N(T)) = k \leq n
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벡터 {v1,v2,...,vk}\{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \}를 N(T)N(T)의 기저라 하면, 이를 확장 시켜서 VV의 기저 β={v1,v2,...vk,vk+1,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... v_{k}, v_{k+1}, ... , v_{n} \}를 만들 수 있다.
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이때 VV의 기저 β\beta가 되도록 확장시킨 S={T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)}S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}는 R(T)R(T)의 기저가 된다.
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SS를 span하면 R(T)R(T)가 되고, SS가 선형독립이면 R(T)R(T)의 기저가 되므로 다음과 같이 증명한다.
▪
SS가 R(T)R(T)를 생성한다는 증명
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R(T)=span{T(v1),T(v2),...,T(vn)}R(T) = span\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}
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=span{T(v1)=0,T(v2)=0,...T(vk)=0,T(vk+1),...,T(vn)}= span\{ T(v_{1}) = 0, T(v_{2}) = 0, ... T(v_{k}) = 0, T(v_{k+1}), ... , T(v_{n}) \}
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=span(S)= span(S)
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SS가 선형 독립이라는 증명
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∑i=k+1nbiT(vi)=0\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} T(v_{i}) = 0
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T(∑i=k+1nbivi)=0T(\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i}) = 0
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∑i=k+1nbivi∈N(T)\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} \in N(T)
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N(T)=∑i=1kciviN(T) = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i} 라 하면
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∑i=k+1nbivi=∑i=1kcivi\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i}
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∑i=1k(−ci)vi+∑i=k+1nbivi=0\sum_{i=1}^{k} (-c_{i})v_{i} + \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = 0
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β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}은 VV의 기저이므로
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∀i,bi=0\forall i, b_{i} = 0
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그러므로 SS는 선형독립
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∴S={T(vk+1),T(vk+2),...,T(vn)}\therefore S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \}는 R(T)R(T)의 기저
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∴dim(R(T))=rank(T)=n−k\therefore dim(R(T)) = rank(T) = n-k
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