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데코수학/ 선형대수학/ 행렬 2

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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전치행렬
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A=(aij)A = (a_{ij}) 일 때,
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AT=(aji)A^{T} = (a_{ji})
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대각합
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A=(aij)∈mn,nA = (a_{ij}) \in m_{n, n}
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tr(A)=∑x=1naxxtr(A) = \sum_{x=1}^{n} a_{xx}
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가역행렬
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가역행렬이란 역행렬을 가지는 행렬
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AA: 가역
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⇔∃B,BA=AB=I\Leftrightarrow \exists B, BA = AB = I
▪
이때 B를 A의 역행렬이라 부른다.
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역행렬
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AA의 역행렬은 A−1A^{-1}로 표기
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AA의 역행렬은 유일하다.
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A=(abcd)A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)일 때,
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A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)
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가역행렬과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의 가능.
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AB=0AB = 0 이어도 BA=0 BA = 0이 안 될 수 있다.
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A=(1000),B=(0010)A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)일 때 성립 안 함.
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O(n)={A∈Mn,n(R)∣A−1=AT}O(n) = \{ A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) | A^{-1} = A^{T} \} 일 때, (역행렬과 전치행렬이 같은 행렬들의 집합. 직교행렬이라고도 한다)
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In=O(n)I_{n} = O(n)
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A,B∈O(n)⇒AB∈O(n)A, B \in O(n) \Rightarrow AB \in O(n)
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A∈O(n)⇒A−1∈O(n)A \in O(n) \Rightarrow A^{-1} \in O(n)
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A∈O(n)⇒AT∈O(n)A \in O(n) \Rightarrow A^{T} \in O(n)

행렬식

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(AT)T=A(A^{T})^{T} = A
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(A+B)T=AT+BT(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}
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(cA)T=cAT(cA)^{T} = cA^{T}
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(AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T}A^{T}
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tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
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tr(cA)=c⋅tr(A)tr(cA) = c \cdot tr(A)
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tr(AT)=tr(A)tr(A^{T}) = tr(A)
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tr(AB)=tr(BA)tr(AB) = tr(BA)
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I−1=II^{-1} = I
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(cA)−1=1cA−1(cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}
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(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
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(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A
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(AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}
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(A−1)n=(An)−1(A^{-1})^{n} = (A^{n})^{-1}
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(An)T=(AT)n(A^{n})^{T} = (A^{T})^{n}
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위 3가지 경우에 의해 n(거듭제곱), -1(역행렬), T(전치행렬)은 순서를 바꿔도 무방하다.
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