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이상엽/ 집합론/ 함수

함수

함수의 정의

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함수: 다음을 만족하는 X에서 Y로의 관계 f:X→Yf : X \to Y
◦
∀x∈X,∃y∈Y,s.t.(x,y)∈f\forall x \in X, \exists y \in Y, s.t. (x, y) \in f
▪
(x,y)∈f(x, y) \in f 는 y=f(x)y = f(x)라고도 쓴다.
▪
s.t.는 such that의 약자. 그러한 것을 만족 시키는
◦
(x,y1)∈f∧(x,y2)∈f⇒y1=y2(x, y_{1}) \in f \wedge (x, y_{2}) \in f \Rightarrow y_{1} = y_{2}
◦
ex) X = { 1, 2, 3 }, Y = { a, b, c } 일 때
▪
f1 = { (1, a), (1, b), (2, b), (3, c) }
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f1은 함수가 아니다 (1, a), (1, b) 때문
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f2 = { (1, a), (2, b) }
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f2는 함수가 아니다. X의 3에 대응되는 순서쌍이 없기 때문.
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f3 = { (1, a), (2, a), (3, b) }
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f3는 함수다. Y의 c가 없지만 이것은 함수의 정의에 부합한다.
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함수 f:X→Yf : X \to Y에서 y=f(x)y = f(x) 일 때 다음과 같이 부른다.
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y를 f에 의한 x의 상 (Image)
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x를 f에 의한 y의 원상 (Pre-Image)
◦
X를 f의 정의역 Dom(f) (Domain)
◦
Y를 f의 공역 (Co-Domain)
◦
{f(x)∣x∈X}=f(X)\{ f(x) | x \in X \} = f(X) 를 f의 치역 Rng(f) (Range)
◦
ex) 위 예제의 f3의 경우
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Dom(f3) = { 1, 2, 3 }
▪
Rng(f3) = { a, b }
▪
1의 상 = a
▪
a의 원상 = { 1, 2 }
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함수식이 같아도 정의역이 다르면 다른 함수다.
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ex) {f(x)=x2Dom(f)=Rg(x)=x2Dom(g)=C⇒f≠g\begin{cases} f(x) = x^{2} & Dom(f) = \mathbb{R} \\ g(x) = x^{2} & Dom(g) = \mathbb{C} \end{cases} \Rightarrow f \neq g
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함수 f:X→Yf : X \to Y 에 대하여 A⊂XA \subset X 일 때
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f∣Af |_{A} 는 X를 A로 축소한 함수
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{(x,y)∈f∣x∈A}\{ (x, y) \in f | x \in A \}
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gf∣Ag f |_{A} 이면 f는 g의 A에서의 확대함수
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ex) A = { 1, 2 }, B = { 1, 2, 3 }, Y = { a, b, c } 일 때
▪
{f(x)={(1,a),(2,b),(3,c)}f:B→Y,Dom(f)=Bg(x)={(1,a),(2,b)}g:A→Y,Dom(g)=A\begin{cases} f(x) = \{ (1, a), (2, b), (3, c) \} & f : B \to Y, Dom(f) =B \\ g(x) = \{ (1, a), (2, b) \} & g : A \to Y, Dom(g) = A \end{cases}
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⇒g=f∣A\Rightarrow g = f |_{A}
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f를 축소하면 g가 되고, g를 확대하면 f가 된다.

함수의 성질

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함수 f:X→Yf : X \to Y 에 대하여
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전사 (Onto)
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Rng(f)=YRng(f) = Y
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공역에 있는 모든 원소가 화살을 받은 상태
◦
단사 (Into)
▪
x1≠x2∈X⇒f(x1)≠f(x2)x_{1} \neq x_{2} \in X \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})
▪
공역에 있는 모든 원소가 화살을 하나씩만 받은 상태
◦
전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일 대응

여러가지 함수

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고등학교 교육과정 내
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항등함수
▪
∀x∈X,IX(x)=x\forall x \in X, I_{X}(x) = x
▪
x를 넣으면 x가 그대로 나오는 함수. 정의역이 공역이면서 치역이 된다.
◦
상등함수
▪
∃y0∈Y,f(X)=y0\exists y_{0} \in Y, f(X) = y_{0}
▪
어떤 값을 넣어도 어떤 상수가 나옴.
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역함수
▪
전단사인 f:X→Yf : X \to Y 에 대하여 f−1:Y→Xf^{-1} : Y \to X
▪
역함수가 가능하려면 전단사 함수여야 함.
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합성함수
▪
두 함수 f:X→Y,f:Y→Zf : X \to Y, f : Y \to Z 와 ∀x∈X,(g∘f)(x)=g(f(x))\forall x \in X, (g \circ f)(x) = g(f(x))
◦
합성함수의 성질
▪
g∘f≠f∘gg \circ f \neq f \circ g
▪
(h∘g)∘f=h∘(g∘f)(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)
▪
f−1∘f=Ixf^{-1} \circ f = I_{x}
▪
f∘f−1=Iyf \circ f^{-1} = I_{y}
▪
f,gf, g 가 모두 단사면 g∘fg \circ f는 단사
▪
f,gf, g가 모두 전사면 g∘fg \circ f는 전사
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고등학교 교육과정 외 (집합 A(≠∅)A(\neq \emptyset) 가 A⊂XA \subset X 일 때)
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포함함수
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∀x∈A,i:A→X\forall x \in A, i : A \to X 가 i(x)=x(∈A)i(x) = x (\in A)
▪
항등함수의 축소된 함수
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특성함수 (지시 함수)
▪
∀x∈X,χA:X→{0,1}\forall x \in X, \chi_{A} : X \to \{ 0, 1 \}가 χA(x)={1x∈A0x∉A\chi_{A} (x) = \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}
▪
어떤 특정 집합을 두고, 이 특정 집합에 내가 원하는 값이 포함 되었는지 안 되었는지를 지시하는 함수
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선택함수
▪
집합 X(≠∅)X(\neq \emptyset)의 부분집합들의 집합족을 {Ai}\{ A_{i} \} 이라 할 때 모든 i∈Ii \in I에 대하여 f(Ai)∈Aif(A_{i}) \in A_{i} 로 정의되는 함수 f:{Ai}→Xf : \{ A_{i} \} \to X
▪
ex) X = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 2, 3, 4 }, A3 = { 4, 5 } 일 때
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함수 f가 A1, A2, A3을 정의역으로 가지고 그 치역이 각각 2, 4, 5일 경우 이 함수 f는 선택 함수가 된다. A1에 2가 포함되어 있고, A2에 4가 포함되어 있고, A3에 5가 포함되어 있기 때문.
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반면 함수 g가 A1, A2, A3을 정의역으로 가지고 그 치역이 각각 1, 2, 3일 경우 이 함수 g는 선택 함수가 아니다. A1에 1가 포함되어 있고, A2에 2가 포함되어 있지만, A3에 3가 포함되어 있지 않기 때문.

여러가지 정리

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함수 ff 에 대하여 역함수 f−1f^{-1}가 존재하면 ff 는 전단사이다.
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합성함수 g∘fg \circ f 가 단사이면 ff 는 단사이고, g∘fg \circ f 가 전사이면 gg는 전사이다.
•
정수집합 Z\mathbb{Z} 과 자연수집합 N\mathbb{N} 사이에는 일대일 대응이 존재한다.
◦
(증명) f:Z→Nf : \mathbb{Z} \to \mathbb{N} 를 다음과 같이 정의한다.
▪
f(x)={2x+1x≥0−2xx<0f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \geq 0 \\ -2x & x < 0 \end{cases}
▪
f는 단사임을 증명
•
case1) f(x1)=f(x2)⇒2x1+1=2x2+1⇒x1=x2f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow 2x_{1} + 1 = 2x_{2} + 1 \Rightarrow x_{1} = x_{2}
•
case2) f(x1)=f(x2)⇒−2x1=−2x2⇒x1=x2f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow -2x_{1} = -2x_{2} \Rightarrow x_{1} = x_{2}
▪
f는 전사임을 증명
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양의 짝수집합을 Ne\mathbb{N}_{e} 양의 홀수집합을 No\mathbb{N}_{o} 라고 정의
•
case1) ∀2n+1∈No,∃n∈Z,s.tf(n)=2n+1\forall 2n+1 \in \mathbb{N}_{o}, \exists n \in \mathbb{Z}, s.t f(n) = 2n + 1
•
case2) ∀−2m∈Ne,∃m∈Z,s.tf(m)=−2m\forall -2m \in \mathbb{N}_{e}, \exists m \in \mathbb{Z}, s.t f(m) = -2m
▪
따라서 f는 전단사 함수이고 고로 일대일 대응이 된다.

집합의 함수

개념과 정의

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함수 f:X→Yf : X \to Y 에서 A⊂XA \subset X 이고 B⊂YB \subset Y 일 때 다음이 성립한다.
◦
f에 대한 A의 상
▪
f(A)={f(x)∈Y∣x∈A}f(A) = \{ f(x) \in Y | x \in A \}
◦
f에 대한 B의 역상
▪
f−1(B)={x∈X∣f(x)∈B}⊂Xf^{-1}(B) = \{ x \in X | f(x) \in B \} \subset X
◦
ex) f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 가 f(x)=x2f(x) = x^{2} 라 할때
▪
집합 A를 { -1, 0, 1, 2 } 라고 하면 집합에 대한 함수는 f(A)={0,1,4}f(A) = \{ 0, 1, 4 \} 가 된다. (각각의 원소를 함수에 대입)
▪
집합 B를 { 0, 1, 4 } 라고 할 때 B의 역상은 f−1(B)={−2,−1,0,1,2}f^{-1}(B) = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} 가 된다.
▪
여기서 집합 B는 A의 상인데, B의 역상을 구하면 원래 집합 A보다 큰 집합이 된다.
▪
집합 A의 상은 일반적으로 집합 A의 크기보다 줄어들게 된다. (단사가 되면 동일), 반면 집합 A의 역상에 대한 상은 일반적으로 집합 A의 크기보다 커지게 된다. (전사가 되면 동일)

여러가지 정리

•
함수 f:X→Yf : X \to Y 에서 A⊂XA \subset X이고 B⊂YB \subset Y 일 때 다음이 성립한다.
◦
f(∅)=∅f(\emptyset) = \emptyset
◦
∀x∈X,f({x})={f(x)}\forall x \in X, f(\{x\}) = \{f(x)\}
◦
f−1(f(A))=A⇔ff^{-1}(f(A)) = A \Leftrightarrow f 는 단사
◦
f(f−1(B))=B⇔ff(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f 는 전사
•
함수 f:X→Yf : X \to Y 에 대하여 {Aα∣α∈I}\{ A_{\alpha} | \alpha \in I \} 를 XX의 부분집합족이라 하면 다음이 성립한다.
◦
f(∪α∈IAα)=∪α∈If(Aα)f(\cup_{\alpha \in I} A_{\alpha}) = \cup_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})
◦
f(∩α∈IAα)⊆∩α∈If(Aα)f(\cap_{\alpha \in I} A_{\alpha}) \subseteq \cap_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})
◦
ff가 단사이면 f(∩α∈IAα)=∩α∈If(Aα)f(\cap_{\alpha \in I} A_{\alpha}) = \cap_{\alpha \in I} f(A_{\alpha})
Made with