Euler Method(Euler Solver)
Euler Method(Euler Solver)는 미분 방정식을 수치적으로 적분하는 가장 간단한 방법 중 하나로 다음과 같은 형식으로 정의된다.
Ordinary Differential Equation(ODE)
오일러 방법은 다음과 같은 상미분 방정식(ODE)를 풀기 위해 사용될 수 있다. 된다.
여기서 는 drift라 부르는 시스템의 결정론적 변화를 나타낸다.
ODE에 오일러 방법을 적용한 식은 다음과 같다.
Stochastic Differential Equation(SDE)
오일러 방법을 다음과 같은 확률 미분 방정식(SDE)을 풀기 위해 확장한 것을 Euler-Maruyama Method라고 한다.
첫 번째 항의 를 drift coefficient라 하고 시스템의 결정론적 변화를 나타낸다. 두 번째 항의 는 diffusion coefficient라 하고 불확실성이나 노이즈의 영향을 모델링한다. 는 표준 브라운 운동(또는 Wiener Process)를 나타내며 가우시안 화이트 노이즈의 통합된 형태이다.
SDE에 Euler-Maruyama Method를 적용한 식은 다음과 같다.
Probability Flow ODE(PF ODE)
다음과 같이 ODE를 SDE에서처럼 drift와 diffusion 항을 결합하여 사용하는 방법을 Probability Flow ODE(PF ODE)라 부른다. 이것은 diffusion model에서 많이 사용된다.
여기서 는 drift 항이고 는 diffusion 항이다. 는 확률 함수이고 는 score 함수이다.
PF ODE에 오일러 방법을 적용한 식은 다음과 같다.
