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김영길/ 선형대수학/ inverse matrix, change of coordinate matrix, elementary row operation

Invertible = one-to-one and onto

1.
(TU)−1=T−1U−1(TU)^{-1} = T^{-1}U^{-1}
2.
(T−1)−1=T(T^{-1})^{-1} = T
3.
선형변환 T:V→WT : V \to W 이고 dim(V)=dim(W)<∞dim(V) = dim(W) < \infty 일 때
•
TT가 invertible ⇔rank(T)=dim(V),nullity(T)=0\Leftrightarrow rank(T) = dim(V), nullity(T) = 0
•
TT는 단사함수이고 전사함수여야 한다. (전단사 함수)

Thm 2.17

•
invertible한 선형변환 T:V→WT : V \to W
◦
T−1:W→VT^{-1} : W \to V
◦
T−1T^{-1} 또한 선형이다.
•
Def. 행렬에서의 invertibility
◦
행렬 AA가 invertible 하면
▪
∃B,AB=BA=I\exists B, AB = BA = I
▪
B=A−1B = A^{-1}은 unique하다.

Thm 2.18

•
선형변환 T:V→WT : V \to W, β\beta는 VV 의 기저, γ\gamma는 WW의 기저일 때
◦
TT가 invertible ⇔[T]βγ\Leftrightarrow [T]_{\beta}^{\gamma}가 invertible
▪
[T−1]γβ=([T]βγ)−1[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}
◦
(선형변환 TT가 invertible하면 그것의 행렬표현 또한 invertible하고, TT의 역행렬의 행렬표현은 TT의 행렬표현의 역행렬과 같다.)

isomorphic

•
벡터공간 V,WV, W에 대하여
◦
VV가 WW에 대해 선형변환 T:V→WT : V \to W가 존재하고, 그것이 invertible 하면 isomorphic하다고 한다.
◦
V≅WV \cong W

Thm 2.19

•
FF를 원소로 하는 유한차원 벡터공간 V,WV, W에 대하여
◦
V≅W⇔dim(V)=dim(W)V \cong W \Leftrightarrow dim(V) = dim(W)
◦
(VV와 WW가 isomorphic하면 그 VV 와 WW의 차원이 같다)
•
즉, 구조적으로 nn차원 벡터공간은 FnF^{n} 밖에 없음

2.5 Change of coordinate matrix(좌표변환 행렬)

•
2x2−4xy+5y2=12x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1 이라는 타원의 방정식에 대해 다음과 같이 x′,y′x', y' 을 잡아 좌표변환을 해주면
◦
x=25x′−15y′x = {2 \over \sqrt{5}}x' - {1 \over \sqrt{5}}y'
◦
y=15x′+25y′y = {1 \over \sqrt{5}}x' + {2 \over \sqrt{5}}y'
•
위의 타원 방정식을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
◦
(x′)2+6(y′)2=1(x')^{2} + 6(y')^{2} = 1

좌표변환행렬 Q=[I]β′βQ = [I]_{\beta'}^{\beta}

•
Q=[I]β′βQ = [I]_{\beta'}^{\beta} (좌표변환 행렬은 보통 QQ로 표시)
◦
[v]β=[Iv]β=[I]β′β[v]β′=Q[v]β′[v]_{\beta} = [Iv]_{\beta} \\ = [I]_{\beta'}^{\beta} [v]_{\beta'} \\ = Q[v]_{\beta'}
•
QQ는 항상 invertible 하다. (II가 항상 invetible하기 때문)
•
Ex 1)
◦
β={(1,1),(1,−1)}\beta = \{ (1, 1), (1, -1) \}
◦
β′={(2,4),(3,1)}\beta' = \{ (2, 4), (3, 1) \}
◦
[(2,4)]β′=[10][(2,4)]_{\beta'} = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 0 \end{array} \right]
◦
(2,4)=3(1,1)−1(1,−1)(2, 4) = 3(1,1) - 1(1, -1)
◦
(3,1)=2(1,1)+1(1,−1)(3, 1) = 2(1, 1) + 1(1, -1)
◦
Q=[I]ββ=[32−11]Q = [I]_{\beta}^{\beta} = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right]
•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대해 TT를 특별히 linear operator라고 한다.
◦
(자기 자신으로 가는 선형변환)
•
Thm 2.23)
◦
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대해
▪
[T]β′=Q−1[T]βQ[T]_{\beta'} = Q^{-1}[T]_{\beta}Q
◦
증명)
▪
Q[T]β′=[I]β′β[T]β′β=[IT]β′β=[TI]β′β=[T]ββ[I]β′β=[T]βQQ[T]_{\beta'} = [I]_{\beta'}^{\beta} [T]_{\beta'}^{\beta} = [IT]_{\beta'}^{\beta} = [TI]_{\beta'}^{\beta} = [T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\beta'}^{\beta} = [T]_{\beta}Q
•
Ex 2) 생략 (교재로 대체)

Similar

•
정사각행렬 A,B∈Mn×n(F)A, B \in M_{n \times n}(F)에 대하여 BB가 AA에 대해 similar하다는 것은
◦
∃Q,B=Q−1AQ\exists Q, B = Q^{-1}AQ
•
similar하다는 것은 같은 linear transform에서 파생된 것이라는 것

3.1 Elementary matrix operation

•
Def. Elementary row operation
◦
Type 1) row를 바꿔준다.
◦
Type 2) row에 0이 아닌 scalar를 곱해준다.
◦
Type 3) scalar를 곱해준 row를 다른 row에 더해준다.
•
(Elementary column operation도 있는데 거의 안 쓴다)

n×nn \times n elementary matrix

•
elementary matrix란 InI_{n}에 elementary row operation(또는 elementary column operation)을 단 1번 적용한 행렬
•
Ex)
◦
E=[010100001],[10−2010001]E = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
◦
왼쪽의 행렬은 1행과 2행을 맞바꾼 것이고 오른쪽 행렬은 마지막 행에 -2를 곱한 후에 첫 번째 행에 더한 것
•
elemantary 행렬은 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해줄 수 있다.
◦
만일 위 예제의 왼쪽 행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해주면, 곱해주는 행렬의 1행과 2행을 바꾸는 결과를 만들 수 있다.
◦
만일 위 예제의 오른쪽 행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해주면, 곱해주는 행렬의 1행에 마지막 행의 -2를 곱한 것을 더한 결과를 만들 수 있다.
•
(elementary 행렬을 적절히 곱해줌으로해서 행렬을 내가 원하는대로 조정할 수 있다)
Made with