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데코수학/ 벡터미적분학/ 벡터

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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벡터의 정의 1: n개의 성분으로 나타낼 수 있는 양
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u⃗=(u1,u2,u3,...,un)\vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, ... , u_{n})
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u⃗=v⃗⇔∀i,ui=vi\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \forall i, u_{i} = v_{i}
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u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2,...,un+vn)\vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, ... , u_{n} + v_{n})
◦
α⋅u⃗=(α⋅u1,α⋅u2,...,α⋅un)\alpha \cdot \vec{u} = (\alpha \cdot u_{1}, \alpha \cdot u_{2}, ... , \alpha \cdot u_{n})
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벡터의 정의 2: 크기와 방향을 가진 양 (물리학에서 사용하는 정의)
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유향 선분 ab⃗\vec{ab} 로 벡터를 나타낼 수 있다.
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크기는 선분의 길이, 방향은 선분의 방향 (크기가 0이면 방향은 고려 안 함)
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ab⃗=cd⃗⇔\vec{ab} = \vec{cd} \Leftrightarrow 두 선분의 길이가 같고 두 선분의 방향이 같다
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ab⃗+cd⃗=ae⃗(cd⃗=be⃗)\vec{ab} + \vec{cd} = \vec{ae} (\vec{cd} = \vec{be})
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c⋅ab⃗c \cdot \vec{ab} : 방향은 그대로 길이만 늘린 것
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위 2가지 정의는 동치다.
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AB의 시작점을 원점 O로 옮겼을 때 OP = AB인 벡터로 나타낼 수 있다. 이때 P의 좌표로 벡터 AB를 유일하게 결정할 수 있다.
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a⃗=b⃗⇔oa⃗=ob⃗\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \vec{oa} = \vec{ob}
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c⋅a⃗⇔c⋅oa⃗c \cdot \vec{a} \Leftrightarrow c \cdot \vec{oa}

벡터식

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u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}
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u⃗+(v⃗+w⃗)=(u⃗+v⃗)+w⃗\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}
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u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}
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벡터의 덧셈에 대하여 항등원이 존재
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u⃗+(−1⋅u⃗)=0⃗\vec{u} + (-1 \cdot \vec{u}) = \vec{0}
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벡터의 덧셈에 대하여 역원이 존재
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α⋅(β⋅u⃗)=β⋅(α⋅u⃗)\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) = \beta \cdot (\alpha \cdot \vec{u})
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1⋅u⃗=u⃗1 \cdot \vec{u} = \vec{u}
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벡터의 곱셈에 대하여 항등원이 존재
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(α+β)⋅u⃗=α⋅u⃗+β⋅u⃗(\alpha + \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{u}
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α⋅(u⃗+v⃗)=α⋅u⃗+α⋅v⃗\alpha \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} + \alpha \cdot \vec{v}
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0⃗⋅u⃗=0⃗\vec{0} \cdot \vec{u} = \vec{0}
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α⋅0⃗=0⃗\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}
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α⋅u⃗=0⃗⇔α=0∨u⃗=0⃗\alpha \cdot \vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee \vec{u} = \vec{0}
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u⃗=v⃗⇔u⃗+w⃗=v⃗+w⃗\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} + \vec{w} = \vec{v} + \vec{w}
•
u⃗=v⃗⇔α⋅u⃗=α⋅v⃗\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \alpha \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{v}
Made with