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이상엽/ 해석학/ 해석함수

테일러급수 전개

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(테일러 급수는 멱급수 --다항함수의 급수-- 의 한 형태)
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(어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
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(해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)
Def. [해석함수]
어떤 δ>0\delta > 0에 대하여 (c−δ,c+δ)(c - \delta, c + \delta)에서 함수 ff가 f(x)=∑n=0∞an(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}이면 ff는 x=cx = c에서 해석적이라 한다.
또한 함수 ff가 열린구간 II의 모든 점에서 해석적이면 ff를 II에서의 해석함수라 한다.
Thm. [테일러급수 전개]
함수 ff가 구간 II에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 c∈Ic \in I에 대하여 구간 (c −δ,c+δ)(c  -\delta, c + \delta)에서
f(x)=∑n=0∞f(n)(c)n!(x−c)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}
을 만족시키는 δ>0\delta > 0이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 ff의 테일러급수라 하고, 특히 c=0c = 0 인 경우에는 매클로린급수라 한다.
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(멱급수에서 an=f(n)(c)n!a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!} 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
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(함수 ff가 해석적이면 ff는 무한번 미분 가능. 그러나 ff가 무한번 미분 가능하다고 해서 ff가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

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(아래와 같은 각종 함수를 테일러급수 형태로 전개가 가능함. 다시 말해 다항함수로 표현 가능. 다만 정의된 구간 안에서만 가능)
1x=1+(1−x)+(1−x)2+...=∑n=0∞(1−x)n,(0<x<2){1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... = \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)
x=1−1−x2−(1−x)28−(1−3)316−...(0<x<2)\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)
참고) y=1xy = {1 \over x}와 y=∑k=0n(1−x)ky = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k}의 그래프 비교
ex=1+x+x22!+...=∑n=0∞xnn!,(−∞<x<∞)e^{x} = 1 + x + {x^{2} \over 2!} + ... = \sum_{n=0}^{\infty} {x^{n} \over n!}, (-\infty < x < \infty)
ln⁡x=(x−1)−(x−1)22+(x−1)33−...=∑n=1∞(−1)n+1n(x−1)n,(0<x≤2)\ln x = (x-1) - {(x-1)^{2} \over 2} + {(x-1)^{3} \over 3} - ... = \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} \over n}(x-1)^{n}, (0 < x \leq 2)
참고) y=exy = e^{x}와 y=∑k=0nxkk!y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!}의 그래프 비교
참고) y=ln⁡xy = \ln x와 y=∑k=0nxkk!y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!}의 그래프 비교
sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+...=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1,(−∞<x<∞)\sin x = x - {x^{3} \over 3!} + {x^{5} \over 5!} - {x^{7} \over 7!} + ... = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n + 1)!} x^{2n+1}, (-\infty < x < \infty)
cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+...=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n,(−∞<x<∞)\cos x = 1 - {x^{2} \over 2!} + {x^{4} \over 4!} - {x^{6} \over 6!} + ... = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n)!} x^{2n}, (-\infty < x < \infty)
참고) y=sin⁡xy = \sin x와 y=∑k=0n(−1)kx2k+1(2k+1)!y = \sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k} x^{2k+1} \over (2k+1)!}의 그래프 비교

해석함수의 연산

Thm 1. [해석함수의 사칙연산]
함수 ff는 개구간 II에서 해석적이고 gg는 개구간 JJ에서 해석적이면 다음이 성립한다.
1.
cf. f±g,fgf \pm g, fg는 I∩JI \cap J에서 해석적이다. (단 cc는 상수)
2.
g(x0)≠0g(x_{0}) \neq 0인 x0∈I∩Jx_{0} \in I \cap J에 대해 fg{f \over g}도 x=x0x = x_{0}의 근방에서 해석적이다.
Thm 2. [해석함수의 합성]
함수 ff는 개구간 II에서 해석적이고 gg는 개구간 JJ에서 해석적일 때, f(I)⊂Jf(I) \subset J이면 합성함수 g∘fg \circ f도 II에서 해석적이다.
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