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이상엽/ 선형대수학/ 수학적 벡터 (벡터공간)

대수구조

대수구조

수 뿐만 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상.
간단히 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.

여러 대수구조

•
집합: 아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
•
반군: 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
•
모노이드: 항등원을 갖는 반군
•
군: 역원을 갖는 모노이드
•
아벨군(가환군): 교환법칙이 성립하는 군
◦
아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
•
환: 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
◦
환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
◦
1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
•
가군: 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
◦
벡터공간은 가군의 한 종류
◦
가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
•
가환환: 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
◦
환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
•
나눗셈환: 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
◦
환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
•
체: 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
◦
2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.
(R,∗),(V,+,⋅)(\mathbb{R}, *), (V, +, \cdot) -> 이런식으로 표기되면 대수구조가 된다. 대상이 되는 집합을 정의하고 그 집합에 적용되는 연산에 대한 정의가 되면 대수구조가 된다.
환 이전까지는 연산의 종류가 1종류이고 환 이후로 체까지는 연산의 종류가 2가지가 됨. 연산의 종류가 3개 이상인 경우도 있으나 여기서는 생략.

벡터공간

벡터공간

체 FF에 대한 가군 (V,+,⋅)(V, +, \cdot)을 벡터공간, VV의 원소의 벡터라 한다.
이때 ++는 벡터의 덧셈이고, ⋅\cdot는 벡터의 스칼라배이다.
•
참고)
◦
+:V×V→V+ : V \times V \to V인 함수
◦
⋅:F×V→V\cdot : F \times V \to V인 함수
•
(V,+)(V, +)는 아벨군이다. (u,v,w∈V)(u, v, w \in V)
◦
(u+v)+w=u+(v+w)(u + v) + w = u + (v + w)
◦
u+v=v+uu + v = v + u
◦
u+0⃗=uu + \vec{0} = u인 0⃗\vec{0}가 VV에 존재한다.
◦
u+(−u)=0⃗u + (-u) = \vec{0}인 −u-u가 VV에 존재한다.
•
(V,+,⋅)(V, +, \cdot)는 FF의 가군이다. (k,m∈F)(k, m \in F)
◦
k⋅(m⋅u)=(km)⋅uk \cdot (m \cdot u) = (km) \cdot u
◦
FF의 곱셈 항등원 1에 대해 1⋅u=u1 \cdot u = u
◦
(k+m)⋅(u+v)=k⋅u+m⋅u+k⋅v+m⋅v(k + m) \cdot (u + v) = k \cdot u + m \cdot u + k \cdot v + m \cdot v
수학적으로 벡터란 벡터공간의 원소를 의미함. 벡터공간이란 벡터 대수구조를 만족하는 것을 의미. --아래 예시와 같이 덧셈 연산을 곱셈으로, 곱셈 연산을 지수 연산으로 바꾸어도 벡터 대수구조를 만족하므로 벡터 공간이 된다. 고로 그 집합에 속하는 원소 또한 벡터가 됨--
방향 같은 개념은 수학적인 벡터의 고려 대상이 아님. 그러나 이와 같은 정의가 만족되면 물리적인 벡터에 대해서도 동일하게 적용이 가능. 물리적인 벡터 개념에서 엄밀한 개념만 남긴 것이 수학적 벡터 개념.
•
ex)
◦
벡터에 대한 집합과 다음과 같이 정의할 때
▪
V={x∣x∈R,x>0}V = \{ x | x \in \mathbb{R}, x > 0 \}
▪
F=RF = \mathbb{R}
▪
+:V×V→V,u+v=uv+ : V \times V \to V, u + v = uv
•
+를 곱셈으로 정의
•
VV의 원소와 VV의 원소에 대한 ++을 하면 그 결과가 VV가 나온다.
▪
⋅=F×V→V,k⋅u=uk\cdot = F \times V \to V, k \cdot u = u^{k}
•
⋅\cdot을 지수곱으로 정의
•
FF의 원소와 VV의 원소에 대한 ⋅\cdot을 하면 그 결과가 VV가 나온다.
◦
이와 같은 정의 또한 벡터공간의 대수구조를 만족하므로 벡터공간이라 할 수 있다.
▪
(V,+)(V, +)는 아벨군이 되고, (V,+,⋅)(V, +, \cdot)은 가군이 된다.

선형생성

부분벡터공간

벡터공간 VV 상에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 되는 VV의 부분집합 WW를 VV의 부분벡터공간 또는 부분공간이라 한다.

선형생성

벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합 S={v1,v2,...,vn}S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, VV의 부분벡터공간을 SS의 (선형)생성 span(S)span(S) 이라 한다. 즉,
span(S)={∑i=1nkivi∣ki∈F,vi∈S}span(S) = \{ \sum_{i = 1}^{n} k_{i} v_{i} | k_{i} \in F, v_{i} \in S \}
이때 SS가 span(S)span(S)을 (선형)생성한다 라고 한다.
•
ex)
◦
S=(1,0),(0,1),F=RS = { (1, 0), (0, 1) }, F = \mathbb{R} 라 할 때 --S는 (1, 0), (0, 1)의 벡터를 가진 집합
◦
span(S)={k(1,0)+m(0,1)∣k,m∈F}span(S) = \{ k(1, 0) + m(0, 1) | k, m \in F \}
◦
={(k,m)∣k,m∈F}= \{ (k, m) | k, m \in F \}
◦
=R2= \mathbb{R}^{2}
◦
S라는 집합은 2차원 실수 벡터 공간을 생성한다. (= (1, 0), (0, 1) 이라는 벡터 2개만 있으면 2차원 실수 벡터 공간을 만들 수 있다)

선형 독립

벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합 S={v1,v2,...,vn}S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}에 대하여
k1v1+k2v2+...+knvn=0⃗⇒k1=k2=...=kn=0k_{1} v_{1} + k_{2} v_{2} + ... + k_{n} v_{n} = \vec{0} \\ \Rightarrow k_{1} = k_{2} = ... = k_{n} = 0
이면 SS가 선형독립이라고 한다. 만약 k1=k2=...=kn=0k_{1} = k_{2} = ... = k_{n} = 0 외의 다른 해가 존재하면 S가 선형종속이라고 한다.
•
ex)
◦
S1=(1,0),(0,1),(1,1)S_{1} = { (1, 0), (0, 1), (1, 1) } 라 할 때
▪
k1(1,0)+k2(0,1)+k3(1,1)=0⃗k_{1}(1, 0) + k_{2}(0, 1) + k_{3}(1, 1) = \vec{0}를 만족하는 K의 값은
▪
k1=k2=k3=0k1=k2=1,k3=−1...k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0 \\ k_{1} = k_{2} = 1, k_{3} = -1 ... 과 같이 모든 k가 0이지 않은 해가 존재하므로 S1S_{1}은 선형종속집합이 된다.
◦
S2=(1,0),(0,1)S_{2} = { (1, 0), (0, 1) } 라 할 때
▪
k1(1,0)+k2(0,1)=0⃗k_{1}(1, 0) + k_{2}(0, 1) = \vec{0} 를 만족하는 K의 값은
▪
k1=k2=0k_{1} = k_{2} = 0 뿐이므로 S2S_{2} 은 선형독립집합이 된다.

여러 벡터공간

노름공간

노름이 부여된 K-벡터공간 (V,∥⋅∥)(V, \|\cdot\|)
노름이란 ∀u,v∈V,∀k∈K\forall u, v \in V, \forall k \in K 에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수
∥⋅∥:V→[0,∞)\|\cdot\| : V \to [0, \infty) 이다. (K∈{R,C})(K \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\})
•
∥kv∥=∣k∣∥v∥\|kv\| = |k|\|v\|
•
∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|
•
∥v∥=0⇔v=0⃗\|v\| = 0 \Leftrightarrow v = \vec{0}

내적공간

내적이 부여된 K-벡터공간 (V,⟨⋅,⋅⟩)(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)
내적이란 ∀u,v,w∈V,∀k∈K\forall u, v, w \in V, \forall k \in K에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수
⟨⋅,⋅⟩:V×V→K\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to K 이다. (K∈{R,C})(K \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\})
•
⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨u,w⟩\langle u + v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle u, w \rangle
•
⟨ku,v⟩=k⟨v,u⟩\langle ku, v \rangle = k \langle v, u \rangle
•
⟨u,v⟩=⟨v,u‾⟩\langle u, v \rangle = \langle \overline{v, u} \rangle
◦
(복소수체 일 때는 위에 바가 붙고, 실수에서는 붙지 않는다)
•
v≠0⃗⇒⟨v,v⟩>0v \neq \vec{0} \Rightarrow \langle v, v \rangle > 0

유클리드공간

음이 아닌 정수 nn에 대하여 nn차원 유클리드공간 RnR^{n}은 실수집합 RR의 nn번 곱집합이며, 이를 nn차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 한다.
이 위에 내적 ⟨u,v⟩=∑i=1nuivi=u⋅v\langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i} = u \cdot v을 정의하면 점곱, 스칼라곱이라고도 한다.

기저와 차원

기저

벡터공간 VV의 부분집합 BB가 선형독립이고 VV를 생성할 때, BB를 VV의 기저라 한다.
•
ex)
◦
V=R2V = \mathbb{R}^{2}
◦
B1={(1,0),(0,1)}B_{1} = \{ (1, 0), (0, 1) \} 일 때
▪
⇒span(B1)=R2\Rightarrow span(B_{1}) = \mathbb{R}^{2}
▪
∴B1\therefore B_{1} 은 VV의 기저
◦
B2={(1,0),(1,1)}B_{2} = \{ (1, 0), (1, 1) \} 일 때
▪
(a,b)=k(1,0)+m(1,1)=(k+m,m)(a, b) = k(1, 0) + m(1, 1) = (k+m, m)
▪
∴m=b,k=a−b\therefore m = b, k = a - b
▪
∴B2\therefore B_{2} 도 VV를 생성할 수 있고 선형독립이므로 VV의 기저가 된다.
◦
S={(1,0),(0,1),(1,1)}S = \{ (1, 0), (0, 1), (1, 1) \} 일 때
▪
span(S)=R2span(S) = \mathbb{R}^{2} 를 만족하지만, 선형독립이 아니므로 SS는 VV의 기저가 안 된다.

차원

BB가 벡터공간 VV의 기저일 때 BB의 원소의 개수를 VV의 차원 dim(V)dim(V)라 한다.
•
ex)
◦
앞선 예에서 B1,B2B_{1}, B_{2}는 VV의 기저이고 B1,B2B_{1}, B_{2}의 원소의 개수는 2개이므로 VV는 2차원이 된다.

정규기저

다음 조건을 만족하는 노름공간 VV의 기저 BB를 정규기저라 한다.
∀b∈B,∥b∥=1\forall b \in B, \|b\| = 1

직교기저

다음 조건을 만족하는 내적공간 VV의 기저 BB를 직교기저라 한다.
∀b1,b2∈B,<b1,b2>=0\forall b_{1}, b_{2} \in B, <b_{1}, b_{2}> = 0

정규직교기저

정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라 한다.
특히 RnR^{n}의 정규직교기저
{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)}\{ (1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), ... , (0, 0, ... , 1) \}
를 표준기저라 한다.
•
ex) R2R^{2} 에 대하여
◦
B1={(1,0),(0,1)}B_{1} = \{ (1, 0), (0, 1) \} 는 정규기저도 아니고 직교기저도 아니다.
◦
B2={(1,0),(12,12)}B_{2} = \{ (1, 0), ({1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) \} 는 정규기저지만 직교기저는 아니다.
◦
B3={(1,1),(1,−1)}B_{3} = \{ (1, 1), (1, -1) \} 는 정규기저는 아니지만 직교기저이다.
◦
B4={(1,0),(0,1)}B_{4} = \{ (1, 0), (0, 1) \} 는 정규기저이고 직교기저이다. 이를 특별히 표준기저라고 한다.
Made with