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데코수학/ 선형대수학/ 연립 1차 방정식 푸는법

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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연립 1차 방정식
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다음과 같은 방정식에 대하여
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a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...am1x1+am2x2+...+amnxn=bma_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... + a_{1n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... + a_{2n} x_{n} = b_{2} \\ ... \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + ... + a_{mn} x_{n} = b_{m}
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X=(x1x2...xn),B=(b1b2...bm)X = \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m} \end{array} \right)이라 두면
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방정식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
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(a11a12...a1na21a22...a2n...am1am2...amn)(x1x2...xn)=(b1b2...bm)\left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m} \end{array} \right)
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즉, 방정식을 AX=BAX = B 형태로 쓸 수 있다.
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이때 B=0B = 0 이면 homogeneous라 하고, B≠0B \neq 0 이면 non-homogeneous라 한다.
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연립 방정식과 행렬
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연립 방정식에 다음 행위를 유한번 해도 해는 바뀌지 않는다.
1.
두 식의 순서 바꾸기
2.
i번째 식에 0이 아닌 스칼라 곱하기
3.
i번째 식에 j번째 식 더하기
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위 과정으로 방정식을 간단한 형태로 바꾸면 된다.
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위 방법을 AX=BAX = B 에 대한 행렬의 언어로 쓰면 다음과 같다.
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행렬 (A∣B)(A|B)에 다음 행위를 유한번 해도 XX는 바뀌지 않는다.
1.
두 행의 순서 바꾸기
2.
i번째 행에 0이 아닌 스칼라 곱하기
3.
i번째 행에 j번째 행 더하기
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위 과정으로 (A∣B)(A|B) 를 '간단한 형태'로 만들면 된다.
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(A∣B)(A|B)는 AA와 BB를 이어붙여 만든 행렬을 말한다. (argumented matrix)
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위 1, 2, 3의 과정을 기본행 연산이라 부르고, A가 기본행연산으로 B가 된다면 A∼RBA \sim_{R}B라 쓰고 행동치라 부른다.
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'간단한 형태'란 RRE form을 말한다.
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A : Row Echelon form
1.
모든 성분이 0인 행은 아래에 위치한다.
2.
0이 아닌 성분이 있는 행에 대하여 가장 앞에 있는 것을 pivot 이라 부를 때, pivot이 더 앞에 있는 행일 수록 더 위에 위치한다.
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A : Reduced Row Echelon form
1.
A: Row Echelon form
2.
pivot 들이 전부 1이고, pivot이 있는 열은 piovt 외엔 전부 0이다.
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모든 행렬은 유한번의 기본행연산으로 RRE form으로 만들 수 있고 유일하다.
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그렇게 변환시킨 RRE form으로 연립방정식을 쉽게 풀 수 있다.
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연립일차방정식 AX=0AX = 0의 해 X1,X2X_{1}, X_{2}에 대하여 cX,X1+X2cX, X_{1} + X_{2}도 해가 될 수 있다.
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이를 선형성이라 한다.
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연립일차방정식 AX=0AX = 0 에서 AA가 m×n(n>m)m \times n (n > m)행렬이면, 자명하지 않은 해를 가진다.
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기본행연산을 행렬곱으로 정의
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A의 i번째 행과 j번째 행을 바꾸기
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⇔I[i]↔[j]⋅A\Leftrightarrow I_{[i] \leftrightarrow [j]} \cdot A
◦
A의 i번째 행에 0이 아닌 스칼라 C 곱하기
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⇔Ic[i]⋅A\Leftrightarrow I_{c [i]} \cdot A
◦
A의 i번째 행에 j번째 행 더하기
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⇔I[i]←+[j]⋅A\Leftrightarrow I_{[i] \leftarrow + [j]} \cdot A
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단위행렬에 적절한 변환을 준 후 행렬에 곱하면 기본행 연산이 된다. 위와 같이 변환된 단위행렬을 기본행렬이라 한다.
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기본행렬은 가역이고, 역행렬들도 기본행렬이다.
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가역인 RRE from은 I 뿐이다.
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A : 가역
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⇔A∼RI\Leftrightarrow A \sim_{R} I
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⇔A=E1E2...Ek\Leftrightarrow A = E_{1} E_{2} ... E_{k} (∃Ei\exists E_{i} : 기본행렬)
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⇔AX=0\Leftrightarrow AX = 0의 자명해는 X=0X = 0 뿐이다.
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⇔AX=B\Leftrightarrow AX = B는 유일해를 가진다.
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