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김영길/ 선형대수학/ diagonalization, eigenvector, characteristic polynomial

Diagonal

•
행렬 D=[T]βD = [T]_{\beta}가 Diagonal 하면
◦
T(vj)=λjvjT(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}
•
역으로 순서기저 β={v1,v2,...,vn}\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}가 T(vj)=λjvjT(v_{j}) = \lambda_{j}v_{j}를 만족시키면
◦
[T]β=[λ1λ2...λn][T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & ... & \\ & & & \lambda_{n} \end{array} \right]

EigenVector, EigenValue

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여
◦
영이 아닌 벡터 v∈Vv \in V가 T(v)=λvT(v) = \lambda v를 만족할 때
▪
λ\lambda를 eigenvalue라고 하고 vv를 eigenvector라 한다.
•
행렬에서는 Av=λvAv = \lambda v일 때, vv를 AA의 eigenvector라 한다. (eigenvector of LAL_{A})

Thm 5.1

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에대하여
◦
TT의 eigenvector들로 이루어진 순서기저 β\beta를 만들 수 있으면 TT는 대각화가능이라고 한다.
◦
(eigenvector로 VV를 span하고 선형독립)
•
TT가 대각화가능이고, 대각행렬 DD가 D=[T]βD = [T]_{\beta}일 때
◦
DjjD_{jj}는 eigenvalue가 된다.
•
(예제1 생략 - 교재 참조)
•
(예제2 생략 - 교재 참조 - 90도 회전하는 선형변환에서는 eigenvector와 eigenvalue가 없다)

Thm 5.2

•
A∈Mn×n(F)A \in M_{n \times n}(F)일 때
◦
λ\lambda가 A의 eigenvalue이면
▪
det(A−λI)=0det(A - \lambda I) = 0
•
증명)
◦
λ\lambda가 AA의 eigenvalue이므로
▪
⇔Av=λv\Leftrightarrow Av = \lambda v
▪
⇔(A−λI)v=0\Leftrightarrow (A - \lambda I)v = 0
▪
⇔(A−λI)\Leftrightarrow (A - \lambda I)는 not invertible
▪
⇔det(A−λI)=0\Leftrightarrow det(A - \lambda I) = 0
•
정의)
◦
A∈Mn×n(F)A \in M_{n \times n}(F) 일 때
▪
f(t)=det(A−tI)f(t) = det(A - t I)는 A의 characteristic polynomial(특성 다항식)이라 한다.
◦
Ex)
▪
A=[1141]A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right]
▪
det(A−tI)=det[1−t141−t]=t2−2t−3=(t−3)(t+1)det(A - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 1 \\ 4 & 1 - t \end{array} \right] = t^{2} - 2t - 3 = (t-3)(t+1)
▪
eigenvalue는 3,−13, -1
▪
(eigenvalue는 위와 같이 계산할 수 있기 때문에 구하기 쉽다)

Similar matrices는 항상 같은 특성 다항식을 갖는다 (B=Q−1AQB = Q^{-1}AQ)

•
증명)
◦
Av=λvAv = \lambda v
▪
v=Quv = Qu
▪
AQu=λQuAQu = \lambda Q u
▪
Q−1AQu=λuQ^{-1}AQu = \lambda u
▪
Bu=λuBu = \lambda u
◦
similar matrices의 경우에 eigenvalue는 같지만, eigenvector는 같지 않다.

정의

•
선형변환 T:V→VT : V \to V에 대하여, β\beta가 순서기저일 때
◦
AA의 특성 다항식 TT 는
▪
[T]β=det(A−tI)[T]_{\beta} = det(A - tI)
◦
순서기저 β\beta가 무엇이든간에 characteristic polynomial은 변하지 않는다.
•
선형변환 TT의 eigenvalue λ\lambda는 행렬 [T]β[T]_{\beta}의 λ\lambda와 같다.
◦
(β\beta가 무엇이든 λ\lambda는 동일하다)
•
선형변환 TT의 특성 다항식은 det(T−tI)det(T - tI)라고 쓰기도 한다.
•
(예제 생략 - 교재 참조)
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