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이상엽/ 해석학/ 수열, 급수의 극한

수열과 극한

•
(수열은 수를 순서 있게 나열한 것. 현대적으로 보면 결국 함수)

수열의 정의

Def 1. [수열]
함수 f:N→Rf : \mathbb{N} \to \mathbb{R}를 수열 {an}\{a_{n}\}이라 하고 f(m)=amf(m) = a_{m}을 {an}\{a_{n}\}의 mm번째 항이라 한다.
Def 2. [부분수열]
{an}\{a_{n}\}에 대하여 자연수 수열 {nk}\{n_{k}\}가
n1<n2<...<nk<...n_{1} < n_{2} < ... < n_{k} < ...
이면 {ank}\{a_{n_{k}}\} 를 {an}\{a_{n}\}의 부분 수열이라 한다.
Def 3. [증가(감소)수열]
1.
∀n∈N,an≤an+1\forall n \in \mathbb{N}, a_{n} \leq a_{n+1}인 {nk}\{n_{k}\}를 단조증가수열이라 한다.
•
(an≥an+1a_{n} \geq a_{n+1}이면 단조감소수열)
2.
∀n∈N,an<an+1\forall n \in \mathbb{N}, a_{n} < a_{n+1}인 {nk}\{n_{k}\}를 순증가수열이라 한다.
•
(an>an+1a_{n} > a_{n+1}이면 순감소수열)
Def 4. [유게인 수열]
∃M>0:∀n∈N,∣an∣≤M\exists M > 0 : \forall n \in \mathbb{N}, |a_{n}| \leq M 이면 {an}\{a_{n}\}을 유계인 수열이라 한다.

수열의 극한

Def 1. [수열의 수렴]
{an}\{a_{n}\}이라 하자. ∀ϵ>0,∃N∈N:∀n≥N,∣an−a∣<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, | a_{n} - a | < \epsilon이 성립하면 {an}\{a_{n}\}은 aa로 수렴한다고 하고 이를 lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_{n} = a로 표현한다.
Def 2. [수열의 발산]
적당한 ϵ>0\epsilon > 0와 모든 N∈NN \in \mathbb{N}에 대하여 ∃n≥N:∣an−a∣≥ϵ\exists n \geq \mathbb{N} : |a_{n} - a| \geq \epsilon이면 {an}\{a_{n}\}은 발산한다고 한다.
Thm 1. [수열 극한의 유일성]
{an}\{a_{n}\}이 수렴하면 그 극한은 유일하다.
Thm 2. [수열 극한의 연산]
lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_{n} = a이고 lim⁡n→∞bn=b\lim_{n \to \infty} b_{n} = b이면 다음이 성립한다.
1.
lim⁡n→∞(an±bn)=a±b\lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b (복부호 동순)
2.
lim⁡n→∞anbn=ab\lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = ab
3.
lim⁡n→∞anbn=ab(b≠0,∀n∈N,bn≠0)\lim_{n \to \infty} {a_{n} \over b_{n}} = {a \over b} (b \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}, b_{n} \neq 0)

코시 수열

Def 1. [코시수열의 정의]
∀ϵ>0,∃N∈N:∀m,n∈N\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}
with m≥n>N,∣am−an∣<ϵm \geq n > N, |a_{m} - a_{n} | < \epsilon 가 성립하면 {an}\{a_{n}\}을 코시수열이라 한다.
Thm 1. [코시 수열과 수렴판정]
{an}\{a_{n}\}이 코시수열이면 {an}\{a_{n}\}은 수렴한다.
Def 2. [실수의 구성적 정의]
1.
유리수 코시수열의 집합 R∗\mathbb{R}*에 대하여 R∗×R∗\mathbb{R}* \times \mathbb{R}*의 동치관계 E:{an}E{bn}⇔lim⁡n→∞(an−bn)=0E : \{a_{n}\} E\{b_{n}\} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(a_{n} - b_{n}) = 0 의 동치류 [{an}][\{a_{n}\}] 을 실수라 하고, 이들의 집합을 R\mathbb{R} 이라 표현한다.
2.
lim⁡n→∞an=α\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha이면 [{an}]=α[\{a_{n}\}] = \alpha라 한다.
Thm 2. [실수의 완비성]
R\mathbb{R}의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다.

주요 정리

단조수렴정리

Thm 1. [단조수렴정리]
{an}\{a_{n}\}이 단조증가(감소)하고 위(아래)로 유계이면 {an}\{a_{n}\}은 수렴한다.
•
(그 수렴하는 값은 상한(하한)이 된다)
Thm 2. [축소구간정리]
모든 n∈Nn \in \mathbb{N}과 In=[an,bn]I_{n} = [a_{n}, b_{n}]에 대하여
1.
In=[an,bn]I_{n} = [a_{n}, b_{n}]이 유계인 폐구간이고
2.
In+1⊂InI_{n+1} \subset I_{n} 이며
3.
lim⁡n→∞(bn−an)=0\lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0이면
∩n=1∞In={α}\cap_{n = 1}^{\infty} I_{n} = \{ \alpha \}인 α∈R\alpha \in \mathbb{R}가 존재한다.
•
(임의의 구간 잡고 그 구간을 간격을 무한히 좁혀가면, 그 수렴하는 값에 대응되는 실수가 존재한다.)

B-W 정리

Thm 1. [샌드위치 정리]
L∈RL \in \mathbb{R}일 때 모든 n∈Rn \in \mathbb{R}에 대하여 an≤bn≤cna_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} 이고 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞cn=L\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = L 이면 lim⁡n→∞bn=L\lim_{n \to \infty} b_{n} = L 이다.
Thm 2. [볼차노-바이어슈트라스 정리]
{an}\{a_{n}\} 이 유계인 수열이면 {an}\{a_{n}\}은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
Cor. [최대 최소정리]
ff가 [a,b][a, b] 에서 연속 ⇒∃a0,b0∈[a,b]:∀x∈[a,b],f(a0)≤f(x)≤f(b0)\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})

급수와 극한

급수의 정의

•
(급수란 수열의 합)
Def 1. [급수]
수열 {an}\{a_{n}\}에 대하여
a1+a2+...=∑n=1∞ana_{1} + a_{2} + ... = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}
을 (무한)급수라 한다.
이때 ana_{n}을 급수의 nn번째 항이라 하며
Sn=∑k=1nak=a1+a2+...+anS_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}
을 급수의 부분합이라 한다.
Def 2. [재배열급수]
f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}가 전단사 함수일 때 ∑n=1∞af(n)\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)}의 재배열급수라 한다.
•
(급수에 대해 순서를 적절하게 재배열할 것을 재배열급수라고 한다)
•
(수열에서는 순서가 중요하기 때문에 더하는 순서도 중요하다)

급수의 극한

Def 1. [급수의 수렴과 발산]
∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 에 대한 부분합의 수열 {Sn}\{S_{n}\}이 S∈RS \in \mathbb{R}로 수렴하면 ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 SS로 수렴한다고 하고 ∑n=1∞an=S\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S 로 표현한다.
만약 {Sn}\{S_{n}\} 이 어떤 실수 값으로 수렴하지 않으면 ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 발산한다고 한다.
•
(수열의 부분합들로 이루어진 수열의 합이 어떤 값으로 수렴하게 되면 급수는 수렴한다고 한다)
•
(무한급수의 합은 Sn=a(1−rn)1−rS_{n} = {a(1 - r^{n}) \over 1 - r}와 같다. 여기서 aa는 첫항, rr는 첫항에 곱해지는 공비. 공비는 1이 되면 안 된다.)
Def 2. [절대수렴과 조건수렴]
n∈Nn \in \mathbb{N}에 대하여 an∈Ra_{n} \in \mathbb{R}이라 하자
1.
∑n=1∞∣an∣\sum_{n = 1}^{\infty} |a_{n}|이 수렴하면 ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 절대수렴한다고 한다.
•
(수열을 재배열 해도 수렴하는 값이 동일. 수열에 절대값을 씌운 후에 합해도 수렴하는 경우에 가능)
2.
∑n=1∞∣an∣\sum_{n = 1}^{\infty} |a_{n}|은 발산하지만 ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 수렴하면 ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}은 조건수렴한다고 한다.
•
(수열을 재배열 하면 수렴하는 값이 달라짐)

여러가지 정리

Thm 1.
α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}이고 ∑n=1∞an=α,∑n=1∞bn=β\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \alpha, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \beta 이면 ∑n=1∞(an±bn)=α±β\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \alpha \pm \beta이다. (복부호 동순)
Thm 2.
∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 이 수렴하면 lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0이다.
Thm 3.
∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 와 ∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}의 임의의 재배열 급수 ∑n=1∞af(n)\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)}에 대하여
∑n=1∞an\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 이 절대수렴하고 ∑n=1∞an=L\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L 이면 ∑n=1∞af(n)=L\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} = L이다.
•
(절대수렴인 경우 재배열을 어떻게 하더라도 원래 수열과 같은 값으로 수렴한다)
Made with