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데코수학/ 집합론/ 가산 집합

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

1

개념

•
XX : 가산 ⇔X∼N\Leftrightarrow X \sim \mathbb{N}
◦
XX : 가산 or 가산 ⇔\Leftrightarrow 기껏가산
•
XX : 가산, YY : 무한, Y⊆X⇒YY \subseteq X \Rightarrow Y: 가산
◦
XX가 가산이고, YY가 무한집합인데, YY가 XX의 부분집합이면 YY는 가산집합
•
A,BA, B : 가산 ⇒A∪B\Rightarrow A \cup B : 가산
◦
A,BA, B가 가산이면 그 둘의 합집합도 가산
•
AkA_{k}: 가산 ⇒∪k=1nAk\Rightarrow \cup_{k=1}^{n} A_{k} : 가산
◦
AkA_{k}가 가산이면 AkA_{k}의 합집합도 가산
•
Z\mathbb{Z} : 가산
•
A,BA, B : 가산 ⇒A×B\Rightarrow A \times B: 가산
◦
A,BA, B가 가산이면 A,BA, B의 카테시안 곱도 가산
•
AkA_{k} : 가산 ⇒Πk=1nAk\Rightarrow \Pi_{k=1}^{n} A_{k} : 가산
◦
AkA_{k}가 가산이면 AkA_{k}의 카테시안곱도 가산
◦
만일 nn이 아니라 ∞\infty까지 카테시안곱을 하면 가산이 안 된다.
•
Q∼N\mathbb{Q} \sim \mathbb{N}
◦
유리수 집합은 자연수 집합과 대등하다
◦
Q={nm∣n,m∈Z}(m≠0)\mathbb{Q} = \{ {n \over m} | n, m \in \mathbb{Z} \} (m \neq 0)
◦
자연수가 실수보다는 작은데 유리수와는 대등하다. 신기함.
◦
(양의) 유리수를 nm{n \over m} 으로 표현하면, 결국 N×N\mathbb{N} \times \mathbb{N} 형태로 대응 시킬 수 있다.

2

개념

•
N⊂Z⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} 까지는 가산집합.
◦
그런데 R\mathbb{R}ℝ도 가산집합일까? 어디까지 가산집합일까? 이 문제가 한때 가장 어려운 문제 중 하나 였음.
•
(0,1)(0, 1)의 실수는 비가산. 이는 칸토어가 대각선 논법으로 증명 함.
◦
0과 1 사이의 모든 소수를 나열해도 그 나열에 포함되지 않는 0보다 크고 1보다 작은 실수가 존재함. 다시 말해 나열할 수 없는 실수가 존재. 고로 0, 1사이의 실수는 가산집합이 아니다.
•
R\mathbb{R} : 비가산
◦
(0,1)∼R(0, 1) \sim \mathbb{R}
•
R∖Q\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} : 비가산
◦
실수에서 유리수를 뺀 집합. 다시 말해 무리수 집합은 비가산이다.
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