시스템 참여자로서 현재 시스템의 최고점과 최저점을 예측할 수 있을까? (global optimal 뿐만 아니라 local optimal이라도)
예컨대 주식 시장에서 현재 주식의 가격이 최고점인지 혹은 최저점인지 예측할 수 있을까?
모든 시스템에 대응 시킬 수는 없지만, 주식 시장도 꽤 여러 시스템에 대응할만한 조건을 갖고 있기 때문에, 주식 시장을 조건으로 최고점-최저점 예측이 가능한지를 생각해 보자.
가정
예측이 가능한지 생각해 보기 앞서 논리 전개에 필요한 몇 가지 가정이 필요하다.
1.
주식에서의 가격이란 실제 거래가 이루어지는 가격을 의미한다.
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A가 100만원에 주식을 팔겠다고 하더라도 아무도 그 가격에 매수를 해주지 않으면 가격은 성립하지 않는다. 역으로 A가 어떤 주식을 50만원에 사겠다고 하더라도 아무도 그 가격에 매도를 해주지 않으면 가격은 성립하지 않는다.
2.
주식 시장에는 거래 상대자 뿐만 아니라 거래 경쟁자 또한 존재한다.
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거래 상대자란 내가 시장에 주식을 팔 때 주식을 사는 사람, 혹은 내가 주식을 살 때 나한테 주식을 파는 사람을 의미한다.
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거래 경쟁자란 내가 시장에 주식을 살 때 같은 주식을 사려는 사람, 혹은 내가 주식을 팔려고 할 때 같은 주식을 팔려는 사람을 의미한다.
일반적으로 무엇이 증명 가능한지를 따지기는 어렵고, 대신 반증하기는 쉽기 때문에, 거래 가격의 최고점과 최저점을 예측 가능한 마법같은 가격 계산 함수 f가 있다고 가정하고 이것이 논리적으로 불가능하다는 식으로 증명을 전개하자.
상황 1
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거래 가격의 최고점과 최저점을 예측가능한 계산 함수 f가 시장에 단 1개 존재할 경우
거래 가격의 계산 함수가 시장에 단 1개 존재해서 가격의 최고점과 최저점을 예측해 준다고 하자. 내가 주식을 팔려고 할 때 계산된 최고점에서 팔고, 주식을 사려고 할 때 계산된 최저점에서 사면 매우 훌륭할 것이다.
문제는 이 경우 해당 최고점과 최저점을 나만 알고 있지 않다는 것이다. 거래 상대자도 그 시점을 알고 있기 때문에, 어느 누구도 최고점과 최저점에서 거래를 하려 하지 않을 것이다.
어떤 바보가 이 가격이 최고점이라는 걸 아는데 매수를 해줄 것이며, 이 가격이 최저점이라는 걸 아는데 매도를 해줄 것인가. 결국 최고점-최저점 가격은 형성되지 못하며 계산 가능 함수의 결과는 틀렸다는 것이 된다.
상황 2
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거래 가격의 최고점과 최저점을 예측할 수 있는 계산 함수 f가 시장에 2개 이상 존재할 경우
거래 가격의 계산 함수가 시장에 2개 이상 존재하는 경우 다시 2가지 경우가 있을 수 있다.
상황 2-1
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2개 이상의 계산 함수가 같은 예측값을 계산할 때
이 경우는 상황 1과 동일하다. 어떤 알고리즘이었든 결과가 같다면 모두가 그 가격이 최고점-최저점 임을 알게 되고, 그 시점에서는 어떠한 거래도 일어날 수 없다. 결국 모든 예측 함수가 틀렸다는 것이 된다.
상황 2-2
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2개 이상의 계산 함수가 다른 예측값을 계산할 때
만일 주식을 매도하려는데 예측 함수 f1이 가격의 최고점을 100이라고 예측했고, 예측 함수 f2가 최고점을 90이라고 예측했다고 하자. 이 경우 시장에서의 거래 가격은 90에 형성된다.
시장에는 거래 경쟁자가 있게 마련이고, 나보다 경쟁자가 더 싼 가격에 매도를 하게 되면 매수자는 바보가 아닌 이상 싼 가격에 매수를 하게 된다. 이 경우 더 낮은 가격을 예측한 f2는 맞고, 상대적으로 비싼 가격을 예측한 f1은 틀린 예측이 된다. –보다 전략적인 생각을 해보면 90에 사서 100에 파는 차익 거래가 가능할 것이다
역으로 주식을 매수하려는데 예측 함수 f1이 가격의 최저점을 50이라고 예측했고, f2는 40이라고 예측했다고 하자. 이 경우 시장에서의 거래 가격은 50에 형성된다. 매도자는 바보가 아닌 이상 비싼 가격에 매도를 하기 때문이다. 이 경우 더 높은 가격을 예측한 f1은 맞고, 상대적으로 싼 가격을 예측한 f2는 틀린 예측이 된다. –마찬가지로 생각을 해보면 40에 사서 50에 파는 차익 거래가 가능할 것이다.
사실 엄밀히 말해서 예측 함수가 서로 다른 결과 값을 만들어 냈다는 것 자체가 애초에 global한 최적점 계산이 불가능하다는 뜻이 되긴 하지만, 여하건 이 사례는 '주식의 가격은 주식 자체의 가치에 의해서가 아니라 거래 상대자와 거래 경쟁자에 의해서 결정된다'는 예시를 들기 위해 정리해 보았다.
결론
거래 상대자와 거래 경쟁자가 있는 시스템에서 상품 가격의 최고점과 최저점을 계산하는 것은 불가능하다. 그런 시스템에서 상품의 가격은 상품의 내재 가치가 아니라 거래 상대자와 거래 경쟁자에 의해 결정되기 때문이다.
