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이상엽/ 위상수학/ 위상공간

위상공간

도입

•
위상수학의 본질은 연속에 대한 이해이며, 실수의 연속성으로부터 시작한다.
◦
(연속의 핵심은 극한)
Def 1. [lim⁡n→∞xn=L\lim_{n \to \infty} x_{n} = L]
L∈RL \in \mathbb{R}이라 할 때, ∀ϵ>0,∃N∈N:∀n≥N,∣xn−L∣<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, |x_{n} - L| < \epsilon
이때 ∣xn−L∣<ϵ⇔xn∈(L−ϵ,L+ϵ)|x_{n} - L| < \epsilon \Leftrightarrow x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)
•
xn∈(L−ϵ,L+ϵ)x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)은 xnx_{n}이 LL 의 근방에 포함된다는 의미
Def 2. [근방]
N⊂R,L∈RN \subset \mathbb{R}, L \in \mathbb{R} 이라 할 때,
∃(a,b)⊂N:L∈(a,b)\exists(a, b) \subset N : L \in (a, b)을 만족하면 NN을 LL의 근방이라 한다.
•
근방이란 LL을 포함하는 열린구간을 의미. 심지어 (−∞,∞)(-\infty, \infty)도 정의상 근방이라고도 할 수 있다.
•
근방 정의의 핵심은 LL로부터 얼마나 떨어져 있느냐가 아니라 연속성.
Thm 1. [근방(열린구간)의 성질]
1.
L∈RL \in \mathbb{R}의 근방들의 유한교집합은 LL의 근방이다.
•
닫힌 구간인 경우에는 성립하지 않는다. 닫힌 구간들이 1개의 원소를 공유하는 경우 그 교집합은 1개의 원소가 되기 때문에 근방이 되지 않음.
2.
L∈RL \in \mathbb{R}의 근방들의 무한합집합은 LL의 근방이다.
•
무한 교집합인 경우에는 성립하지 않는다. 교집합이 1개의 원소로 수렴하기 때문
Def 3. [열린집합]
열린구간들의 합집합으로 표현 가능한 집합을 열린집합이라 한다.
Thm 2. [열린집합의 성질]
1.
∅\emptyset은 열린집합이다.
2.
열린집합의 유한교집합은 열린집합이다.
3.
열린집합의 무한합집합은 열린집합이다.
•
열린구간의 일반화 버전
◦
열린집합을 0번 합하면 공집합, 1번 합하면 열린구간이 된다.

위상공간

•
실수에서의 열린집합 성질을 바탕으로 이를 일반화하여 위상공간을 정의한다.
◦
임의의 집합 XX에 열린집합의 성질을 부여한 것이 위상공간
Def 1. [위상과 위상공간]
집합 X(≠∅)X (\neq \emptyset)와 XX의 부분집합의 집합족 I\mathfrak{I}가 다음을 만족한다고 하자.
1.
∅,X∈I\emptyset, X \in \mathfrak{I}
•
XX는 열린집합
2.
∀Ui∈I,∩i=1nUi∈I(n<∞)\forall U_{i} \in \mathfrak{I}, \cap_{i=1}^{n} U_{i} \in \mathfrak{I} (n < \infty)
•
열린집합의 성질에서 유한 교집합과 같은 내용
3.
∀Ui∈I,∪iUi∈I\forall U_{i} \in \mathfrak{I}, \cup_{i} U_{i} \in \mathfrak{I}
•
열린집합의 성질에서 무한 합집합과 같은 내용
이때 I\mathfrak{I}를 XX 위의 위상(topology), (X,I)(X, \mathfrak{I})를 위상공간이라 한다.
•
1.(1).Def3에서 정의한 열린집합들의 집합족 I\mathfrak{I}에 대해 (R,I)(\mathbb{R}, \mathfrak{I})를 실수의 보통위상공간이라 한다.
•
정의에 의해 한 집합에는 다양한 위상이 존재함을 알 수 있다.
Def 2. [열린집합 개념의 확장]
I\mathfrak{I}가 집합 XX의 위상일 때 I\mathfrak{I}의 원소를 열린집합이라 한다. 즉, 위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})에 대해 O∈IO \in \mathfrak{I} 인 O(⊂X)O (\subset X)
ex) 집합 X(≠∅)X(\neq \emptyset)에 대하여 다음은 모두 XX 위의 위상이다.
1.
I={∅,X}\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X \}: 밀착위상
2.
I=P(X)\mathfrak{I} = P(X): 이산위상
•
모든 집합 XX에 대하여
◦
공집합과 자기 자신(XX)을 포함하는 집합족도 XX의 위상이 되고, (최소) 이거를 밀착 위상이라고 한다.
◦
공집합과 자기 자신(XX)과 자기 자신의 모든 부분집합을 포함하는 집합족도 XX의 위상이 된다. (최대) - 이게 멱집합이고 이걸 이산 위상이라고 한다.
Def 3. [닫힌집합]
I\mathfrak{I}가 집합 XX의 위상일 때 Cc=X−C∈IC^{c} = X - C \in \mathfrak{I}인 CC를 닫힌집합이라 한다. (열린집합의 여집합)
•
닫힌집합이라 해서 열린집합이 아닌 것은 아니다. 즉, 열린집합이면서 동시에 닫힌집합인 것도 존재할 수 있다.
◦
ex) 실수의 보통위상공간에서 R\mathbb{R}

기저

기저

•
기저로부터 위상을 효율적으로 파악할 수 있을 뿐 아니라 새로운 위상을 만드는 것도 가능하다.
Def. [기저]
집합 XX위의 위상 I\mathfrak{I}와 I\mathfrak{I}의 부분집합 B\mathcal{B}에 대해 I\mathfrak{I}의 임의의 원소가 B\mathcal{B}의 원소의 합집합으로 표현될 수 있으면 B\mathcal{B}를 I\mathfrak{I}의 기저라 한다.
•
B\mathcal{B}가 I\mathfrak{I}의 기저일 떄, B⊂C⊂I\mathcal{B} \subset \mathcal{C} \subset \mathfrak{I}인 C\mathcal{C}도 I\mathfrak{I}의 기저이다.
Thm. [기저의 또 다른 정의]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})와 I\mathfrak{I}의 부분집합 B\mathcal{B}에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.
1.
B\mathcal{B}는 I\mathfrak{I}의 기저이다.
2.
∀p∈X,p∈U∈I,∃B∈B:p∈B⊂U\forall p \in X, p \in U \in \mathfrak{I}, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B \subset U
Cor. [기저의 성질]
집합 XX위에 정의된 위상의 기저 B\mathcal{B}는 다음 두 조건을 만족하며, 그 역도 성립한다.
1.
∀p∈X,∃B∈B:p∈B\forall p \in X, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B
2.
∀B1,B2∈B,∀p∈B1∩B2,∃B3∈B:p∈B3⊂B1∩B2\forall B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}, \forall p \in B_{1} \cap B_{2}, \exists B_{3} \in \mathcal{B} : p \in B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}
ex) 다음 집합이 생성하는 집합족은 모두 R\mathbb{R}위의 위상이다.
1.
L={[a,b)⊂R∣a,b∈R,a<b}L = \{ [a, b) \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}
2.
U={(a,b]⊂R∣a,b∈R,a<b}U = \{ (a, b] \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}

위상크기비교

•
같은 집합위의 서로 다른 두 위상의 크기를 비교가능한 때가 있으며, 이는 각 위상의 기저를 이용해 효율적으로도 가능하다.
Def. [위상크기비교]
집합 XX 위의 두 위상 I1,I2\mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2}에 대하여 I1⊂I2\mathfrak{I}_{1} \subset \mathfrak{I}_{2}이면 I1\mathfrak{I}_{1}이 I2\mathfrak{I}_{2}보다 작다 (또는 I2\mathfrak{I}_{2}가 I1\mathfrak{I}_{1}보다 크다)고 한다.
Thm. [기저를 이용한 위상크기비교]
B1,B2\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}가 각각 집합 XX 위의 서로 다른 두 위상 I1,I2\mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2}의 기저라 하자. 이때 다음 두 명제는 동치이다.
1.
I1\mathfrak{I}_{1}이 I2\mathfrak{I}_{2}보다 크다.
2.
∀p∈X,∀B2∈B2\forall p \in X, \forall B_{2} \in \mathcal{B}_{2}, with p∈B2,∃B1∈B1:p∈B1⊂B2p \in B{2}, \exists B_{1} \in \mathcal{B}{1} : p \in B{1} \subset B_{2}
즉, B1⊃B2\mathcal{B}_{1} \supset \mathcal{B}_{2}이면 I1⊃I2\mathfrak{I}_{1} \supset \mathfrak{I}_{2}이다. 단, 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

거리공간

거리공간

•
위상공간에서 배제된 거리의 개념을 새로이 정의하고, 이를 집합에 부여한 공간을 고려해본다.
Def. [거리]
집합 XX에 대해 함수 d:X×X→Rd : X \times X \to \mathbb{R}가 다음 네 조건을 만족한다고 하자.
1.
∀x,y∈X,d(x,y)≥0\forall x, y \in X, d(x, y) \geq 0
2.
d(x,y)=0⇔x=yd(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y
3.
∀x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)\forall x, y \in X, d(x, y) = d(y, x)
4.
∀x,y,z∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)\forall x, y, z \in X, d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)
이때 dd를 XX 위의 거리(함수), (X,d)(X, d)를 거리공간이라 한다.
ex) 다음은 모두 거리공간이다.
1.
R\mathbb{R}과 d(x,y)=∣x−y∣d(x, y) = |x - y| 에 대해 (R,d)(\mathbb{R}, d)
•
여기서 dd는 유클리드 거리라고 하며 (R,d)(\mathbb{R}, d)는 유클리드 공간이라 한다. (보통 dEd_{E}로 씀)
2.
Rn={x⃗=(x1,...,xn)∣x1,...,xn∈R}\mathbb{R}^{n} = \{ \vec{x} = (x_{1}, ... , x_{n}) | x_{1}, ... , x_{n} \in \mathbb{R} \}과 d(x⃗,y⃗)=(x1−y1)2+...+(xn−yn)2d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + ... + (x_{n} - y_{n})^{2}} 에 대해 (Rn,d)(\mathbb{R}^{n}, d)
3.
임의의 집합 XX와 d(x,y)={1,x≠y0,x=yd(x, y) = \begin{cases} 1, x \neq y \\ 0, x = y \end{cases}에 대해 (X,d)(X, d)
주어진 두 거리공간 (X1,d1),(X2,d2)(X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2})으로부터 다음과 같은 곱거리함수 d1×d2d_{1} \times d_{2}를 이용해 새로운 거리공간 (X1×X2,d1×d2)(X_{1} \times X_{2}, d_{1} \times d_{2})을 만들 수 있다.
(d1×d2)((x1,x2),(y1,y2))=(d1(x1,y1))2+(d2(x2,y2))2(d_{1} \times d_{2})((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = \sqrt{(d_{1}(x_{1}, y_{1}))^{2} + (d_{2}(x_{2}, y_{2}))^{2}}
(단, X1×X2={(x1,x2∣x1∈X1,x2∈X2}X_{1} \times X_{2} = \{ (x_{1}, x_{2} | x_{1} \in X_{1}, x_{2} \in X_{2} \})

거리화 가능 공간

•
모든 거리공간은 위상공간화 가능하다.
◦
하지만 위상공간이 거리공간으로 변환할 수 없는 것도 존재하기 때문에, 거리공간이 위상공간에 포함되는 개념이 된다. 거리는 위상공간에서 부차적인 요소이다.
◦
거리공간에서 위상공간의 기저가 될 수 있는 것을 만들어 준다.
Def. [열린구]
거리공간 (X,d)(X, d)과 임의의 점 x0∈Xx_{0} \in X, 양의 실수 rr에 대하여 XX의 부분집합
Bd(x0,r)={x∈X∣d(x0,x)<r}B_{d} (x_{0}, r) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) < r \}
을 중심이 x0x_{0}이고 반지름인 rr인 열린구라하며, 간략히 Br(x0)B_{r}(x_{0})로 표기하기도 한다. (임의의 점 xx에서 거리 rr안에 포함되는 모든 점을 가져온 것. rr미만 이기 때문에 열린 구가 된다. 이하이면 닫힌구, 거리와 같은 점을 모으면 구면이 된다)
•
Br‾(x0)={x∈X∣d(x0,x)≤r}\overline{B_{r}}(x_{0}) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) \leq r \} : 닫힌구
•
Sr(x0)={x∈X∣d(x0,x)=r}S_{r}(x_{0}) = \{x \in X | d(x_{0}, x) = r \} : 구면
Thm. [거리공간의 위상공간 유도]
거리공간 (X,d)(X, d)에 대하여 모든 열린구들의 집합
B={Br(x0)∣x0∈X,r>0}\mathcal{B} = \{ B_{r}(x_{0}) | x_{0} \in X, r > 0 \}
는 항상 집합 XX위의 어떤 위상의 기저가 된다. B\mathcal{B}로부터 생성된 위상을 거리위상, 위상공간을 유도공간이라 한다. (모든 열린 구들의 집합이 어떤 위상의 기저가 된다. 그렇게 만든 기저로 위상공간의 모든 요소들을 만들어낼 수 있음)
•
어떠한 거리공간으로부터도 유도될 수 없는 위상공간이 존재한다.
◦
ex) X={1,2}X = \{ 1, 2 \}에 대한 밀착위상공간
•
서로 다른 두 거리공간으로부터 동일한 위상공간이 유도되기도 한다.
◦
ex) x⃗=(x1,x2),y⃗=(y1,y2)(∈R2)\vec{x} = (x_{1}, x_{2}), \vec{y} = (y_{1}, y_{2}) (\in \mathbb{R}^{2})
◦
dE(x⃗,y⃗)=(x1−y1)2+(x2−y2)2d_{E}(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2}}
◦
dM(x⃗,y⃗)=Max(∣x1−y1∣,∣x2−y2∣)d_{M}(\vec{x}, \vec{y}) = Max(|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|)
◦
일 때 (Rn,dE),(Rn,dM)(\mathbb{R}^{n}, d_{E}), (\mathbb{R}^{n}, d_{M})
◦
dEd_{E}는 원의 모양이 되고 dMd_{M}는 정사각형 모양이 된다. 그런데 이 두 거리공간으로부터 유도되는 위상공간은 동일하다. 다시 말해 원과 사각형이 위상공간에서는 같은 것이라는 것. 이는 실수라는 무한집합을 이용하였기 때문. 이게 위상수학의 유명한 예.
관계를 다음과 같이 도식해 볼 수 있다.

내, 외부와 경계

집적점과 폐포

•
실수의 극한에 대응하는 위상공간의 개념을 알아본다.
◦
집적점은 실수의 극한의 일반화된 버전
◦
열린구간의 경계에 해당한다.
Def 1. [집적점]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})에 대해 AA의 XX를 부분집합이라 하자. 점 x∈Xx \in X가 xx를 포함하는 임의의 열린집합 UU 에 대하여
(U∖{x})∩A≠∅(U \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset
를 만족하면 xx를 AA의 집적점이라 한다. (xx가 AA에 포함되는지 아닌지 여부는 중요하지 않다)
•
즉 집합 AA의 집적점이란 AA의 원소들이 한없이 가까이 분포하고 있는 점이다.
•
실수의 보통위상공간과 유리수집합 Q\mathbb{Q}에 대해 모든 실수는 Q\mathbb{Q}의 집적점이 될 수 있다.
◦
이처럼 위상공간의 모든 원소를 집적점으로 갖는 집합의 성질을 조밀성이라 한다.
◦
또한 조밀한 가산부분집합이 존재하는 위상공간은 분해가능공간이라 한다.
Thm 1. [닫힌집합의 의미 1]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 부분집합 AA에 대해 다음 두 명제는 동치이다.
1.
AA는 닫힌집합이다.
2.
AA의 모든 집적점들은 AA에 포함된다.
•
닫힌집합은 열린집합의 여집합이기 때문에, 거꾸로 닫힙집합을 찾고 그것의 여집합을 하면 열린집합이 된다. --열린집합을 찾기 어려운 경우 이렇게 한다.
•
열린집합이란 위상의 원소다.
Def 2. [도집합과 폐포]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 부분집합 AA에 대해 AA의 모든 집적점들의 집합을 AA의 도집합 A′A'라 하고 A∪A′A \cup A'을 AA의 폐포 A‾\overline{A}라 한다.
•
집적점이 AA 내부에 존재하지 않을 수 있기 때문에 AA의 모든 집적점들의 집합이나 그 집합과 AA의 합집합이 별도의 의미가 있게 된다.
Cor. [닫힌집합의 의미 2]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 부분집합 AA에 대해 다음 세 명제는 동치이다. (도집합과 폐포를 이용해서 닫힌집합을 정의할 수 있음)
1.
AA는 닫힌집합이다.
2.
A′⊂AA' \subset A
3.
A‾=A\overline{A} = A
Thm 2. [폐포의 의미]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 부분집합 AA에 대해 다음 두 명제는 동치이다.
1.
x∈A‾x \in \overline{A}
2.
∀\forall열린집합 U∋x,U∩A≠∅U \ni x, U \cap A \neq \emptyset

내, 외부와 경계

Def. [내부, 외부, 경계]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 부분집합 AA에 대해
1.
AA에 포함되는 모든 열린집합의 합집합을 AA의 내부 Int(A)Int(A)라 한다.
•
위상의 원소들 가운데 AA 에 포함되는 모든 것을 AA의 내부라고 한다.
2.
Ac(=X∖A)A^{c} (= X \setminus A)의 내부를 AA의 외부 Ext(A)\text{Ext}(A)라 한다.
•
AA의 여집합의 내부(열린집합)가 AA의 외부가 된다.
3.
A‾∩Ac‾\overline{A} \cap \overline{A^{c}}를 AA의 경계 ∂A\partial A라 한다.
•
AA의 폐포와 AA 여집합의 폐포의 교집합이 AA의 경계가 된다. 폐포는 직접점(경계)를 포함하고 있기 때문에 실제로 경계가 된다.
Thm. [내부, 외부, 경계의 의미]
위상공간 (X,I)(X, \mathfrak{I})의 부분집합 AA에 대해 다음이 성립한다. (이 부분 집합 AA는 임의의 부분집합이기 때문에 열린집합일 수도 있고 아닐 수도 있다)
1.
∃\exists열린집합 U:x∈U⊂A⇔x∈Int(A)U : x \in U \subset A \Leftrightarrow x \in Int(A)
•
AA의 내부에 속하는 점을 포함하면서 AA의 포함하는 집합이 존재한다.
2.
∃\exists열린집합 x∈U⊂Ac⇔x∈Ext(A)x \in U \subset A^{c} \Leftrightarrow x \in Ext(A)
•
AA의 외부에 속하는 점을 포함하면서 AA의 포함하는 집합이 존재한다.
3.
∃\exists열린집합 U∋x,(U∩A≠∅)∧(U∩Ac≠∅)⇔x∈∂AU \ni x, (U \cap A \neq \emptyset) \wedge (U \cap A^{c} \neq \emptyset) \Leftrightarrow x \in \partial A
Cor. Int(A)∪Ext(A)∪∂A=XInt(A) \cup \text{Ext}(A) \cup \partial A = X
•
내부, 외부, 경계를 합하면 XX가 된다.
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