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이상엽/ 해석학/ 실수체계

자연수

•
자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.
1.
1∈N1 \in \mathbb{N}
2.
n∈N⇒n′∈Nn \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}
3.
∀n∈N,1≠n′\forall n \in \mathbb{N}, 1 \neq n'
•
1은 자연수의 최소원소
4.
∀m∈N,n′≠m′⇒n=m\forall m \in \mathbb{N}, n' \neq m' \Rightarrow n = m
•
자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
•
만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
5.
1∈S∧(∀n∈S,n′∈S)⇒N⊆S1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq S
•
집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
•
1∈S∧(∀n∈S,n′∈S)1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S)을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
•
자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.
'1'과 '그 다음 수'는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)
Thm. [수학적 귀납법]
n′=n+1n' = n + 1이라 정의할 때, 명제 P(n)P(n)에 대하여 두 조건
1.
P(1)P(1)이 참
2.
P(n)P(n)이 참 P(n+1)P(n+1)이 참
이 성립하면 P(n)P(n)은 모든 자연수 nn에 대하여 참이다.
(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

1.
정렬성
•
자연수집합 N\mathbb{N}의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
2.
자연수 집합 N\mathbb{N}은 위로 유계가 아니다.
3.
아르키메데스 성질
•
∀ϵ>0,∃n∈Ns.t.1n<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. {1 \over n} < \epsilon
•
어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다
•
정리란 참인 명제
•
성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
•
법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

•
바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
•
무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

1.
정수 집합
•
Z=(−N)∪{0}∪N\mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{N}
2.
유리수 집합
•
Q={mn∣m,n∈Z,n≠0}\mathbb{Q} = \{ {m \over n} | m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}
3.
무리수 집합
•
I=R−Q\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}
(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]
∀a,b∈R,a<b⇒∃r∈Q:a<r<b\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} : a < r < b
어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.
증명)
•
case 1) 0<a<b0 < a < b
◦
a<b⇔0<b−a⇒∃n∈N(s.t.1n<b−a)a < b \Leftrightarrow 0 < b - a \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} (s.t. {1 \over n} < b - a) (아르키메데스 성질)
◦
Let. S={m⊆N∣m>na}S = \{ m \subseteq \mathbb{N} | m > na \} Then. S≠∅S \neq \emptyset (위로 유계 아님 성질)
◦
∴S(⊆N)\therefore S (\subseteq \mathbb{N})의 최소원소는 mm (정렬성 성질)
◦
m>na⇔a<mnm > na \Leftrightarrow a < {m \over n}
◦
m−1∉S⇒m−1≤na⇒m−1n≤am - 1 \notin S \Rightarrow m - 1 \leq na \Rightarrow {m - 1 \over n} \leq a
◦
∴a<mn=m−1n+1n≤a+1n<b\therefore a < {m \over n} = {m -1 \over n} + {1 \over n} \leq a + {1 \over n} < b
•
case 2) a<0<ba < 0 < b
◦
0이 유리수이므로 자명 trivial
•
case 3) a<b<0a < b < 0
◦
⇒0<−b<−a\Rightarrow 0 < -b < -a
◦
⇒0<−b<−a\Rightarrow 0 < -b < -a
◦
∴r∈Q(s.t.−b<r<−a,∵case1)\therefore r \in \mathbb{Q} (s.t. - b < r < -a, \because case 1)
◦
⇒a<−r<b\Rightarrow a < -r < b
Thm 2. [무리수의 조밀성]
∀a,b∈R,a<b⇒∃s∈I:a<s<b\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists s \in \mathbb{I} : a < s < b
어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.
증명)
•
a<ba < b
◦
⇒a+2<b+2\Rightarrow a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}
◦
∃r∈Q:a+2<r<b+2\exists r \in \mathbb{Q} : a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2}
▪
(유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 rr이 존재)
◦
Let. s=r−2∈Is = r - \sqrt{2} \in \mathbb{I}
◦
Then. a+2<r<b+2⇒a<s<ba + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2} \Rightarrow a < s < b

실수

•
히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
•
그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.

체 공리

집합 SS와 SS에 부여된 두 이항연산 +,⋅+, \cdot가 다음 9개의 공리를 만족하면, 대수구조 (S,+⋅)(S, + \cdot)를 체라 한다.
1.
x,y∈S⇒x+y=y+xx, y \in S \Rightarrow x + y = y + x
•
덧셈에 대한 교환법칙
2.
x,y,z∈S⇒x+(y+z)=(x+y)+zx, y, z \in S \Rightarrow x + (y + z) = (x + y) + z
•
덧셈에 대한 결합법칙
3.
∀x∈S,∃0∈S:0+x=x\forall x \in S, \exists 0 \in S : 0 + x = x
•
덧셈에 대한 항등원
4.
∀x∈S,∃−x∈S:x+(−x)=0\forall x \in S, \exists -x \in S : x + (-x) = 0
•
덧셈에 대한 역원 (연산 결과가 항등원이 나오게 하는 것)
5.
x,y∈S⇒x⋅y=y⋅xx, y \in S \Rightarrow x \cdot y = y \cdot x
•
곱셈에 대한 교환법칙
6.
x,y,z∈S⇒x⋅(y⋅z)=(x⋅y)⋅zx, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z
•
곱셈에 대한 결합법칙
7.
∀x∈S,∃1(≠0)S:1⋅x=x\forall x \in S, \exists 1(\neq 0) S : 1 \cdot x = x
•
곱셈에 대한 항등원. 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 달라야 하는 것이 공리
8.
∀x(≠0)∈S,∃x−1∈S:x⋅(x−1)=1\forall x (\neq 0) \in S, \exists x^{-1} \in S : x \cdot (x^{-1}) = 1
•
곱셈에 대한 역원
9.
x,y,z∈S⇒x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
•
덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙
(Q,+,⋅)(\mathbb{Q}, +, \cdot)와 (R,+,⋅)(\mathbb{R}, +, \cdot) &s=2$는 모두 체다. (유리수 체, 실수 체)
•
체 공리는 실수의 대수적 성질에 대한 것
•
집합에 연산을 부여한 것을 대수적 구조라고 한다.
•
이항연산은 집합 내의 원소들에 대해 연산을 한 결과가 집합 내에 존내하는 연산을 의미 --닫혀있는 연산

순서공리

순서 공리

R\mathbb{R}에는 다음 두 조건을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 PP가 존재한다.
1.
∀x,y∈P,x+y∈P∧xy∈P\forall x, y \in P, x + y \in P \wedge xy \in P
•
집합 원소 간 덧셈과 곱셈이 모두 집합 내에 존재. 덧셈과 곱셈에 대해 닫힌 집합
2.
임의의 x∈Rx \in \mathbb{R}에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
a.
x∈Px \in P
b.
x=0x = 0
c.
−x∈P-x \in P
위 조건을 만족하면 PP는 양의 실수 집합이 됨

삼분성질

Def. [부등식의 정의]
임의의 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}에 대하여
1.
a−b∈P⇒a>b∨b<aa - b \in P \Rightarrow a > b \vee b < a
2.
a−b∈P∪{0}⇒a≥b∨b≤aa - b \in P \cup \{ 0 \} \Rightarrow a \geq b \vee b \leq a
순서 공리로부터 부등식을 정리함. PP는 양의 실수 집합이기 때문에 위와 같이 됨.
Thm. [삼분성질]
임의의 a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
1.
a>ba > b
2.
a=ba = b
3.
a<ba < b

완비성 공리

•
Completeness. 연속성 공리라고도 함. 유리수의 조밀성을 뛰어넘는 실수의 조밀성.

완비성 공리

R\mathbb{R}의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. (완비성 공리를 만족한다는 것은 부분집합의 상한을 원래 집합 내에서 잡을 수 있다는 것)
Def. [상한] 부분순서집합 AA의 부분집합 BB의 상계들의 집합이 최소원소를 가질 때 그 최소원소를 BB의 상한이라 하고 sup⁡B\sup B로 나타낸다.
유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 못함

주요 정리

Thm 1. 상한은 유일하다.
Thm 2. s∈Rs \in \mathbb{R}가 집합 SS의 상계일 때 다음 세 명제는 동치이다.
1.
s=sup⁡Ss = \sup S
2.
∀ϵ>0,∃x∈S:s−ϵ<x≤s\forall \epsilon > 0, \exists x \in S : s - \epsilon < x \leq s
3.
∀ϵ>0,S∩(s−ϵ,s]≠∅\forall \epsilon > 0, S \cap ( s - \epsilon, s ] \neq \emptyset
Thm 3. Q\mathbb{Q}는 완비성을 갖지 않는다.
완비성 공리로부터 '1. 자연수 > (2) 자연수의 성질 > 2'도 증명 가능하다.

완비성의 예 - 무한소수

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합을 AA라 하자 이제
a0=max{x0∣x0.x1x2x3...∈A},a1=max{x1∣a0.x1x2x3...∈A},...,ak=max{xk∣a0.a1...ak−1xkxk+1...∈A}a_{0} = max \{ x_{0} | x_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}, \\ a_{1} = max \{ x_{1} | a_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}, \\ ... , \\ a_{k} = max \{ x_{k} | a_{0}. a_{1} ... a_{k-1} x_{k} x_{k+1} ... \in A \}
라 하면, 무한소수 a0.a1a2a3...a_{0}. a_{1} a_{2} a_{3} ...은 집합 AA의 상한이다. 즉, 무한소수의 집합은 완비성 공리를 만족한다.
실수는 완비성, 순서성을 만족하는 체. 완비순서체라고도 한다.
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