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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수실함수의 그래디언트

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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델 연산자 ∇⃗=(∂∂x1,∂∂x2,...,∂∂xn)\vec{\nabla} = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}} , ... , {\partial \over \partial x_{n}})
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gradf=∇⃗f=(∂f∂x1,∂f∂x2,...,∂f∂xn)grad f = \vec{\nabla} f = ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}} , ... , {\partial f \over \partial x_{n}}) (grad는 그레디언트)
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표기법 dfd f
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=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂xndxn= {\partial f \over \partial x_{1}} dx_{1} + {\partial f \over \partial x_{2}} dx_{2} + ... + {\partial f \over \partial x_{n}} dx_{n}
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=(∂f∂x1,∂f∂x2,...,∂f∂xn)⋅(dx1,dx2,...,dxn)= ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}}, ... , {\partial f \over \partial x_{n}}) \cdot (dx_{1}, dx_{2}, ... , dx_{n})
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=∇f⋅dx⃗= \nabla f \cdot d \vec{x}
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방향 미분
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Du^f:=lim⁡h→0f(x⃗+h⋅u^)−f(x⃗)hD_{\hat{u}} f := \lim_{h \to 0} {f(\vec{x} + h \cdot \hat{u}) - f(\vec{x}) \over h}
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점 x⃗\vec{x} 에서 u^\hat{u} 방향으로 진행할 때의 접선의 기울기
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Du^f=∇⃗f⋅u^D_{\hat{u}} f = \vec{\nabla} f \cdot \hat{u}
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∇f=0⃗⇒∀u^,Du^f=0\nabla f = \vec{0} \Rightarrow \forall \hat{u}, D_{\hat{u}} f = 0
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그레디언트가 0인 점은 모든 방향으로 가도 접선의 기울기가 0이다.
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점 x⃗\vec{x} 에서 f(x⃗)f(\vec{x})가 가장 빨리 증가하는 방향은 벡터 ∇f\nabla f의 방향이다.

미분식

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∇⃗(c⋅f)=c⋅∇⃗f\vec{\nabla} (c \cdot f) = c \cdot \vec{\nabla} f
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∇⃗(f+g)=∇⃗f+∇⃗g\vec{\nabla} (f + g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g
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∇⃗(f⋅g)=f⋅∇⃗g+g⋅∇⃗f\vec{\nabla} (f \cdot g) = f \cdot \vec{\nabla} g + g \cdot \vec{\nabla} f
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