집합론의 역설
칸토어의 역설
칸토어의 정리
임의의 집합 에 대하여 이다.
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(크거나 같은 것이 아니라 아예 큰 것)
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(멱집합의 기수는 가 되는데, 원래 집합이 공집합이었을 때 조차도 이 되어서 멱집합은 항상 원래 집합 보다 크게 된다.)
칸토어의 역설
모든 집합들의 집합을 , 그 기수를 라 하자.
그러면 칸토어의 정리에 따라 의 멱집합의 기수 는 이지만, 이는 이어야 하는 가정에 모순이 된다.
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(멱집합의 기수가 원래 집합보다 같거나 큰 것이 아니라 항상 크기 때문에 역설이 발생)
러셀의 역설
모든 집합들의 집합을 라 하자.
그러면 는 하나의 집합이 된다. (여기서 S는 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 집합)
만약 라 하자. 그러면 의 정의에 의해 이다.
만약 라고 하자. 그러면 의 정의에 의해 이다.
따라서 는 존재하지 않는다.
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(칸토어의 역설이나 러셀의 역설이나 모두 모든 집합들의 집합은 존재하지 않는다는 증명)
공리적 집합론
ZFC
체르멜로(Zermelo)-프렝켈(Fraenkel)의 ZF 공리계에 선택공리(Axiom of choice)가 추가된 공리계.
체르멜로가 확장공리/ 짝공리/ 공집합공리/ 무한공리/ 합집합공리/멱집합공리/분류공리꼴 7개를 만들었고, 이후에 체르멜로 공리계의 허술함을 보완하기 위해 폰노인만의 정칙성공리와 프렝켈의 치환공리꼴이 추가 되어 ZF 공리계가 완성 됨. 최종적으로 선택공리가 추가되어 ZFC가 완성 됨.
현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 다음 10가지 공리 및 공리꼴을 가지고 집합론을 구성한다.
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확장공리
◦
두 집합의 모든 원소가 일치하면 두 집합은 동일하다
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짝공리
◦
두 집합을 원소로 하는 집합이 존재한다.
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공집합공리
◦
아무런 원소도 갖지 않는 집합(공집합)도 존재한다.
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무한공리
◦
무한 집합이 존재한다.
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합집합공리
◦
집합족의 합집합도 집합이다.
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멱집합공리
◦
집합의 멱집합도 집합이다.
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분류공리꼴
◦
명제함수가 참이 되게 하는 집합의 원소들을 갖고 집합을 만들어도 집합이다.
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정칙성공리
◦
X라는 집합이 공집합이 아니면 X와 서로소인 원소를 갖는 집합도 집합이다.
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치환공리꼴
◦
미지수 x, y가 포함된 논리식이 있을 때, 논리식이 참이 되게 하는 y들의 집합도 집합이다.
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선택공리 (Axiom of choice)
그 외의 집합론
NBG
ZFC의 보존적 확장 형태로, 고유 모임을 포함하는 집합론.
폰 노이만-베르나이스-괴델의 이름을 따서 만들어짐.
고유 모임(proper class)이란 집합이 아닌 모임을 의미.
MK
NBG에서 재귀적 정의를 허용한 집합론.
모스-켈리의 이름을 따서 만들어짐.
연속체 가설
정의
칸토어의 연속체 가설
두 초한기수 에 대하여, 를 만족하는 기수 는 존재하지 않는다.
일반화 연속체 가설
임의의 초한기수 에 대하여, 를 만족하는 기수 는 존재하지 않는다.
ZFC 와의 관계
연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC 에서는 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.
다른 공리와의 관계
구성 가능성 공리
ZFC에 구성 가능성 공리를 추가하면 일반화 연속체 가설이 참이다.
고유 강제법 공리
고유 강제법 공리를 가정하면 칸토어의 연속체 가설은 거짓이다.
