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데코수학/ 벡터미적분학
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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 곡선적분
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Duplicate
데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 곡선적분
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개념
•
선 C를 점
x
⃗
1
,
x
⃗
2
,
.
.
.
,
x
⃗
n
\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, ... , \vec{x}_{n}
x
1
,
x
2
,
...
,
x
n
으로 분할 하면 C의 i번째 조각의 길이는
∥
x
⃗
i
−
x
⃗
i
−
1
∥
\|\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}\|
∥
x
i
−
x
i
−
1
∥
가 된다. 이때 i번째 조각에서 뽑은 함수 값을
f
(
x
⃗
i
)
f(\vec{x}_{i})
f
(
x
i
)
로 두면 선적분은 다음과 같이 정의 된다.
◦
lim
n
→
∞
∑
i
n
f
(
x
⃗
i
)
∥
x
⃗
i
−
x
⃗
i
−
1
∥
\lim_{n \to \infty} \sum_{i}^{n} f(\vec{x}_{i}) \|\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} \|
lim
n
→
∞
∑
i
n
f
(
x
i
)
∥
x
i
−
x
i
−
1
∥
◦
=
lim
∥
P
∥
→
0
∑
i
n
f
(
x
⃗
i
)
∥
x
⃗
i
−
x
⃗
i
−
1
∥
= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{x}_{i}) \|\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} \|
=
lim
∥
P
∥
→
0
∑
i
n
f
(
x
i
)
∥
x
i
−
x
i
−
1
∥
◦
=
∫
x
⃗
∈
C
f
(
x
⃗
)
∥
d
x
⃗
∥
= \int_{\vec{x} \in C} f(\vec{x}) \|d\vec{x} \|
=
∫
x
∈
C
f
(
x
)
∥
d
x
∥
•
C
:
α
⃗
,
a
≤
t
≤
b
C : \vec{\alpha}, a \leq t \leq b
C
:
α
,
a
≤
t
≤
b
로 매개화 된 경우,
x
⃗
i
=
α
⃗
(
t
i
)
\vec{x}_{i} = \vec{\alpha} (t_{i})
x
i
=
α
(
t
i
)
가 되고
◦
lim
∥
P
∥
→
0
∑
i
n
f
(
α
⃗
(
t
i
)
)
∥
α
⃗
(
t
i
)
−
α
⃗
(
t
i
−
1
)
∥
\lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{\alpha} (t_{i})) \|\vec{\alpha} (t_{i}) - \vec{\alpha} (t_{i-1}) \|
lim
∥
P
∥
→
0
∑
i
n
f
(
α
(
t
i
))
∥
α
(
t
i
)
−
α
(
t
i
−
1
)
∥
◦
=
lim
∥
P
∥
→
0
∑
i
n
f
(
α
⃗
(
t
i
)
)
∥
α
⃗
(
t
i
)
−
α
⃗
(
t
i
−
1
)
t
i
−
t
i
−
1
∥
∥
t
i
−
t
i
−
1
∥
= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{\alpha} (t_{i})) \|{\vec{\alpha} (t_{i}) - \vec{\alpha} (t_{i-1}) \over t_{i} - t_{i-1}} \| \|t_{i} - t_{i-1} \|
=
lim
∥
P
∥
→
0
∑
i
n
f
(
α
(
t
i
))
∥
t
i
−
t
i
−
1
α
(
t
i
)
−
α
(
t
i
−
1
)
∥∥
t
i
−
t
i
−
1
∥
◦
=
∫
a
≤
t
≤
b
f
(
α
⃗
(
t
)
)
∥
d
d
t
α
⃗
(
t
)
∥
d
t
= \int_{a \leq t \leq b} f(\vec{\alpha}(t)) \|{d \over dt} \vec{\alpha}(t)\| dt
=
∫
a
≤
t
≤
b
f
(
α
(
t
))
∥
d
t
d
α
(
t
)
∥
d
t
◦
=
∫
a
b
f
(
α
⃗
(
t
)
)
∥
α
⃗
˙
(
t
)
∥
d
t
= \int_{a}^{b} f(\vec{\alpha}(t)) \| \dot{\vec{\alpha}} (t) \| dt
=
∫
a
b
f
(
α
(
t
))
∥
α
˙
(
t
)
∥
d
t
