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AI/ Heun Method(Heun Solver)

Heun Method(Heun Solver)

Heun Method(Heun Solver)는 미분 방정식을 수치적으로 푸는 방법으로 2차 정확도를 갖는 예측-수정 방법이다. 2차 Runge-Kutta Method라고도 불린다.

Ordinary Differential Equation(ODE)

Heun 방법은 오일러 방법을 통해 예측값을 생성한 후 해당 예측값을 사용하여 기울기의 평균을 사용하는 방법이다.
1.
우선 초기 조건 f(t0)=x0f(t_0) = \bold{x}_0과 시간 간격 Δt\Delta t를 설정한다.
2.
오일러 방법을 사용하여 예측값을 계산한다.
xpred=xn+f(xn,tn)Δt\bold{x}_\text{pred} = \bold{x}_n + f(\bold{x}_n,t_n)\Delta t
3.
예측값을 사용하여 기울기의 평균을 구하고 최종 결과를 수정 한다.
xn+1=xn+Δt2(f(xt,tn)+f(xpred,tn+1))\bold{x}_{n+1} = \bold{x}_n + {\Delta t \over 2}(\bold{f}(\bold{x}_t, t_n) + \bold{f}(\bold{x}_\text{pred}, t_{n+1}))
4.
지정된 시간 범위까지 2-3 단계 반복

Stochastic Differential Equation(SDE)

오일러 방법과 마찬가지로 확률 미분 방정식(SDE)을 풀기 위해 Heun Method를 다음과 같이 확장할 수 있다. 이를 Stochastic Heun’s Method라 부른다.
1.
우선 초기 조건 f(t0)=x0f(t_0) = \bold{x}_0과 시간 간격 Δt\Delta t를 설정한다.
2.
SDE를 통해 예측값을 계산한다.
여기서 f(x,t)\bold{f}(\bold{x},t)는 drift coefficient, g(t)g(t)는 diffusion coefficient, Δw\Delta \bold{w}는 표준 브라운 운동(또는 Wiener Process)이다.
xpred=f(x,t)Δt+g(t)Δwn\bold{x}_\text{pred} = \bold{f}(\bold{x},t)\Delta t + g(t) \Delta \bold{w}_n
3.
예측값을 사용하여 기울기의 평균을 구하고 최종 결과를 수정 한다.
xn+1=xn+Δt2(f(xt,tn)+f(xpred,tn+1))+12(g(tn)+g(tn+1))Δwn\bold{x}_{n+1} = \bold{x}_n + {\Delta t \over 2}(\bold{f}(\bold{x}_t, t_n) + \bold{f}(\bold{x}_\text{pred}, t_{n+1})) + {1 \over 2}(g(t_n) + g(t_{n+1}))\Delta\bold{w}_n
4.
지정된 시간 범위까지 2-3 단계 반복