데코수학/ 선형대수학/ 벡터 공간

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

개념

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(V,+,⋅)(V, +, \cdot)(V,+,⋅): 스칼라 F\mathbb{F}F에 대한 벡터 공간 +:V×V→V,⋅:F×V→V+ : V \times V \to V, \cdot : \mathbb{F}\times V \to V+:V×V→V,⋅:F×V→V

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⇔\Leftrightarrow⇔

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∀u,v∈V,u+v=v+u\forall u, v \in V, u + v = v + u∀u,v∈V,u+v=v+u

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∀u,v,w∈V,u+(v+w)=(u+v)+w\forall u, v, w \in V, u + (v + w) = (u + v) + w∀u,v,w∈V,u+(v+w)=(u+v)+w

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∃0⃗∈V,∀∈V,u+0⃗=0⃗+u\exists \vec{0} \in V, \forall \in V, u + \vec{0} = \vec{0} + u∃0∈V,∀∈V,u+0=0+u

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∀u∈V,∃(−u)∈V,u+(−u)=(−u)+u=0⃗\forall u \in V, \exists (-u) \in V, u + (-u) = (-u) + u = \vec{0}∀u∈V,∃(−u)∈V,u+(−u)=(−u)+u=0

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∀u∈V,1⋅u=u\forall u \in V, 1 \cdot u = u∀u∈V,1⋅u=u

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∀α,β∈F,∀u∈V,α⋅(β⋅u)=(α⋅β)⋅u\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, \alpha \cdot (\beta \cdot u) = (\alpha \cdot \beta) \cdot u∀α,β∈F,∀u∈V,α⋅(β⋅u)=(α⋅β)⋅u

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∀α∈F,∀u,v∈V,α⋅(u+v)=α⋅u+α⋅v\forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall u, v \in V, \alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v∀α∈F,∀u,v∈V,α⋅(u+v)=α⋅u+α⋅v

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∀α,β∈F,∀u∈V,(α+β)⋅u=α⋅u+β⋅u\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, (\alpha + \beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u∀α,β∈F,∀u∈V,(α+β)⋅u=α⋅u+β⋅u

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용어

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F\mathbb{F}F의 원소는 스칼라

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VVV의 원소는 벡터

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+++는 벡터합

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⋅\cdot⋅는 스칼라곱

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(V,+,⋅)(V, +, \cdot)(V,+,⋅)는 F\mathbb{F}F에 대한 벡터공간

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벡터공간의 예

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(Fn,+c,⋅c):F(\mathbb{F}^{n}, +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F}(Fn,+c​,⋅c​):F에 대한 벡터공간

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스칼라의 카테시안도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.

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(Mm×n(F),+c,⋅c):F(M_{m \times n}(\mathbb{F}), +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F}(Mm×n​(F),+c​,⋅c​):F에 대한 벡터공간

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행렬도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.

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(FS,+′,⋅′):F(\mathbb{F}^{S}, +', \cdot ') : \mathbb{F}(FS,+′,⋅′):F에 대한 벡터공간

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함수들도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.

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(FN,+′,⋅′):F(\mathbb{F}^{\mathbb{N}}, +', \cdot ') : \mathbb{F}(FN,+′,⋅′):F에 대한 벡터공간

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수열공간도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.

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미지수 xxx에 대하여, F={a0+a1x+a2x2+...+anxn∣n∈N,ai∈F}\mathbb{F}= \{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} | n \in \mathbb{N}, a_{i} \in \mathbb{F} \}F={a0​+a1​x+a2​x2+...+an​xn∣n∈N,ai​∈F}, '+++'는 다항식의 덧셈, '⋅\cdot⋅' 는 다항식에 스칼라곱이라 같이 정의하면

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(F[x],+′,⋅′):F(\mathbb{F}[x], +', \cdot ') : \mathbb{F}(F[x],+′,⋅′):F에 대한 벡터공간

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VVV를 "합동이면 같은 것으로 보는 유향 선분의 집합", '+++'는 "평행사변형식 덧셈", '⋅\cdot⋅'는 "길이만 스칼라배 늘리기"로 정의하면

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(V,+′,⋅′):R(V, +', \cdot '): \mathbb{R}(V,+′,⋅′):R에 대한 벡터공간

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벡터공간이라면 다음이 성립한다.

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∀u,v,w∈V,u+w=v+w⇔u=v\forall u, v, w \in V, u + w = v + w \Leftrightarrow u = v∀u,v,w∈V,u+w=v+w⇔u=v$latex  &s=2$

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0⃗\vec{0}0$latex  &s=2$ 는 유일하다.

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uuu마다, −u-u−u가 유일하다.

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0u=0⃗0 u = \vec{0}0u=0

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(−α)u=α(−u)(- \alpha) u = \alpha (-u)(−α)u=α(−u)

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α0⃗=0⃗\alpha \vec{0} = \vec{0}α0=0

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αu=0⃗⇒α=0∨u=0⃗\alpha u = \vec{0} \Rightarrow \alpha = 0 \lor u = \vec{0}αu=0⇒α=0∨u=0

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αx=βx(x≠0⃗)⇒α=β\alpha x = \beta x (x \neq \vec{0}) \Rightarrow \alpha = \betaαx=βx(x=0)⇒α=β

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αx=αy(α≠0)⇒x=y\alpha x = \alpha y (\alpha \neq 0) \Rightarrow x = yαx=αy(α=0)⇒x=y

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벡터공간으로써 구조가 같다.

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(V,+1,⋅1),(W,+2,⋅2)(V, +_{1}, \cdot_{1}), (W, +_{2}, \cdot_{2})(V,+1​,⋅1​),(W,+2​,⋅2​)$latex  &s=2$ : Vector-space Isomorphic (over F\mathbb{F}F)

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⇔\Leftrightarrow⇔

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∃ϕ:V→W\exists \phi : V \to W∃ϕ:V→W: 전단사,

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ϕ(a+1b)=ϕ(a)+2ϕ(b)\phi (a +_{1} b) = \phi (a) +_{2} \phi (b)ϕ(a+1​b)=ϕ(a)+2​ϕ(b)

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ϕ(α⋅1a)=α⋅2ϕ(a)\phi(\alpha \cdot_{1} a) = \alpha \cdot_{2} \phi (a)ϕ(α⋅1​a)=α⋅2​ϕ(a)

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이때 ϕ\phiϕ를 VS isomorphism 이라 부른다.

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ϕ:V≈W\phi : V \approx Wϕ:V≈W

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F≈F1≈M1×1(F)\mathbb{F} \approx \mathbb{F}^{1} \approx M_{1 \times 1} (\mathbb{F})F≈F1≈M1×1​(F)

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Fn≈Mn×1(F)≈M1×n(F)\mathbb{F}^{n} \approx M_{n \times 1} (\mathbb{F}) \approx M_{1 \times n} (\mathbb{F})Fn≈Mn×1​(F)≈M1×n​(F)