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데코수학/ 집합론/ 술어논리

(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

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개념

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전칭
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∀p(x),q(x)\forall p(x), q(x)
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모든 p(x)p(x)에 대하여 q(x)q(x)를 만족하면 참
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Ex) 모든 자연수는 0이상이다 : ∀x는 자연수,x≥0\forall x \text{는 자연수}, x \geq 0
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특칭
◦
∃p(x),q(x)\exists p(x), q(x)
◦
어떤 p(x)p(x)에 대하여 q(x)q(x)를 만족하면 참
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∃\exists 다음에 !!를 붙이면 (∃!)(\exists!) 참인 것이 단 1개만 존재한다는 의미
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쌍대원리
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∀↔∃\forall \leftrightarrow \exists
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괴델의 완전성 정리
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술어논리의 법칙들은 증명이 가능하다
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논리는 수학에 언어를 제공한다.
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∃k0∈A,∀a∈A,k0≤a\exists k_{0} \in A, \forall a \in A, k_{0} \leq a : k0k_{0}는 aa의 최소값
◦
∃p∈N,∀a,b∈N,p=ab⇒a=1∨b=1\exists p \in \mathbb{N}, \forall a, b \in \mathbb{N}, p = ab \Rightarrow a = 1 \vee b = 1 : pp는 1이거나 소수이다.
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∀a,b∈A,a=b\forall a, b \in A, a = b : aa는 한 원소로 된 집합이다. (또는 공집합)
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∀ϵ>0,∃N∈N⇒∣a−a∣<ϵ\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \Rightarrow |a-a| < \epsilon : lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_{n} = a

논리식

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¬∀p(x),q(x)≡∃p(x),¬q(x)\neg \forall p(x), q(x) \equiv \exists p(x), \neg q(x)
◦
¬∃p(x),q(x)≡∀p(x),¬q(x)\neg \exists p(x), q(x) \equiv \forall p(x), \neg q(x)
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∀p(x),q(x)≡∀x,p(x)→q(x)\forall p(x), q(x) \equiv \forall x, p(x) \to q(x)
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∃p(x),q(x)≡∃x,p(x)∧q(x)\exists p(x), q(x) \equiv \exists x, p(x) \wedge q(x)
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∀p(x),q(x)∧∀p(x),r(x)≡∀p(x),q(x)∧r(x)\forall p(x), q(x) \wedge \forall p(x), r(x) \equiv \forall p(x), q(x) \wedge r(x)
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∀x,p(x)∧∀x,q(x)≡∀x,p(x)∧q(x)\forall x, p(x) \wedge \forall x, q(x) \equiv \forall x, p(x) \wedge q(x)
◦
∃x,p(x)∨∃x,q(x)≡x,p(x)∨q(x)\exists x, p(x) \vee \exists x, q(x) \equiv x, p(x) \vee q(x)
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∀x,∀y,p(x,y)≡∀y,∀x,p(x,y)\forall x, \forall y, p(x, y) \equiv \forall y, \forall x, p(x, y)
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∃x,∃y,p(x,y)≡∃y,∃x,p(x,y)\exists x, \exists y, p(x, y) \equiv \exists y, \exists x, p(x, y)
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