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김영길/ 선형대수학/ system of linear equations, determinant

Thm 3.9

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KK가 Ax=b(b≠0)Ax = b (b \neq 0)의 해 집합일 때
◦
KHK_{H}는 Ax=0Ax = 0의 해 집합이라고 정의
◦
K={s}+KH={s+k:k∈KH}K = \{s\} + K_{H} = \{ s + k : k \in K_{H} \}
◦
ss는 Ax=bAx = b의 해 중 하나
◦
(non-homogeneous 방정식을 푸는 방법은 homogeneous 방정식을 먼저 풀고, non-homogeneous의 particular solution을 더해줌으로써 구한다)
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Ex 3)
◦
[1211−1−1][x1x2x3]=[7−4]\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7 \\ -4 \end{array} \right] 일 때
◦
rank(A)=2rank(A) = 2 (반드시 solution이 존재한다)
▪
[1210−3−2][x1x2x3]=[7−11]\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7 \\ -11 \end{array} \right]
◦
homogeneous solution은
▪
[x1x2x3]=c[13−231]\left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = c \left[ \begin{array}{rrr} {1 \over 3} \\ -{2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right]
◦
particular solution을 구하기 위해 free variable에 0을 대입한다.
▪
x3=0x_{3} = 0
▪
x2=113,x1=−13x_{2} = {11 \over 3}, x_{1} = -{1 \over 3}
◦
결과 (homogeneous에 non-homogeneous 해를 1개 더해준 값)
▪
[x1x2x3]=c[13−231]+[−131130]\left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = c \left[ \begin{array}{rrr} {1 \over 3} \\ -{2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} -{1 \over 3} \\ {11 \over 3} \\ 0 \end{array} \right]
◦
(homogeneous의 해가 원점을 지나는 직선이라고 할 때, non-homogeneous의 해는 원점을 지나지 않는 직선이라고 할 수 있다)

4.1 Determinants of order 2

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행렬 A=[abcd](a,b,c,d∈F)A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] (a, b, c, d \in F) 일 때
◦
det(A)=∣A∣=ad−bcdet(A) = |A| = ad - bc
▪
(행렬의 경우 절댓값 기호를 씌우면 det를 의미하고, 집합에 절댓값 기호를 씌우면 집합의 원소의 개수를 의미한다.)
◦
det(A+B)≠det(A)+det(B)det(A + B) \neq det(A) + det(B)
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따라서 det:M2×2(R)→Rdet : M_{2 \times 2}(R) \to R는 nonlinear transform이 된다.
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det(A)≠0⇔A:invertibledet(A) \neq 0 \Leftrightarrow A: invertible

Orientation

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β={u,v}\beta = \{ u, v \}를 R2R^{2}의 순서기저라고 할 때, β\beta의 Orientation은 다음과 같다.
◦
O[uv]=det[uv]∣det[uv]∣=±1O \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = {det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \over \left| det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \right|} = \pm 1
◦
(orientation은 결국 자기 자신의 절댓값으로 나눈 것이기 때문에 +1+1 또는 −1-1이 나올 수 밖에 없다. 기저이기 때문에 분모는 00이 아님)
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Ex)
◦
e1=[10],e2=[01]e_{1} = [1 0], e_{2} = [0 1] 일 때
▪
det[e1e2]=1det \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ e_{2} \end{array} \right] = 1
▪
O[e1e2]=1O \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ e_{2} \end{array} \right] = 1
▪
O[e1−e2]=−1O \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ -e_{2} \end{array} \right] = -1
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orientation 의미는 결국 right-hand system을 만족하느냐를 따지는 것. orientation이 +1+1 이면 반시계방향으로 회전하고, −1-1이면 시계방향으로 회전한다.
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임의의 두 벡터 {u,v}∈R2\{ u, v \} \in R^{2}는 평행사변형을 만든다.
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이때 u,vu, v를 row로 구성된 행렬의 det의 절댓값은 위 평행사변형의 넓이가 된다.
◦
만일 u,vu, v가 dependent하면 area는 00이 된다. (두 벡터의 방향이 같으므로 넓이가 만들어지지 않는다)

Area function (면적 함수)

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A[uv]A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]는 벡터 u,vu, v로 만들어 내는 면적이 된다.
◦
A[uv]=det[uv]A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] 또는 A[uv]=−det[uv]A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = -det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]
◦
∴A[uv]=∣det[uv]∣\therefore A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = \left| det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \right|
◦
A[uv]=O[uv]⋅det[uv]A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = O \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \cdot det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]
•
Ex)
◦
u=(−1,5),v=(4,−2)u = (-1, 5), v = (4, -2) 일 때
▪
∣[−154−2]∣=2−9=−7\left| \left[ \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 4 & -2 \end{array} \right] \right| = 2 - 9 = -7
▪
벡터 uu에서 벡터 vv는 시계방향으로 180도 이하 각도가 되기 때문에 orientation은 −1-1이 된다.

Determinants of order n

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A=[123456789]∈M3×3(R)A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right] \in M_{3 \times 3}(R) 일 때
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Submatrix A~11[5689],A~13[4578]\tilde{A}_{11} \left[ \begin{array}{rr} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} \right], \tilde{A}_{13} \left[ \begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} \right]
◦
Submatrix란 행렬의 원소 AijA_{ij}에 대해 ii행과 jj열을 제외한 나머지 원소들의 행렬이 된다.
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Def. det(A)=∑j=1n(−1)1+jA1jdet(A~1j)det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} det(\tilde{A}_{1j})
◦
만일 A=A11,det(A)=A11A = A_{11}, det(A) = A_{11}
◦
(위 식의 정의는 그 자체가 recursive이다. 재귀이기 때문에 탈출문이 필요한데, 맨 마지막에 1×11 \times 1이 될 때 자기 자신을 return 함으로써 식을 종료한다)

Cofactor

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특별히 Cij=(−1)i+jdet(A~ij)C_{ij} = (-1)^{i+j} det(\tilde{A}_{ij}) 는 AijA_{ij} 의 cofactor라 한다.
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행렬 AA의 1행을 따라 cofactor을 expansion하면 다음과 같다.
◦
det(A)=A11C11+A12+C12+...+A1nC1ndet(A) = A_{11} C_{11} + A_{12} + C_{12} + ... + A_{1n} C_{1n}
◦
(n×nn \times n 행렬의 det는 cofactor expansion을 통해 구할 수 있다.)
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Ex)
◦
A=[13−3−3−52−44−6]A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -3 \\ -3 & -5 & 2 \\ -4 & 4 & -6 \end{array} \right]일 때
◦
det(A)=1(30−8)−3(18+8)−3(−12−20)det(A) = 1 (30-8) - 3(18+8) - 3(-12-20)

Corollary

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A∈Mn×n(F)A \in M_{n \times n}(F) 에 대하여
1.
AA의 행 (또는 열)이 모두 0이면 det(A)=0det(A) = 0
2.
AA의 2개의 행 (또는 열)이 같다면 det(A)=0det(A) = 0 (full rank가 아니므로)

Thm 4.5

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행렬 BB가 행렬 AA의 행을 변환해서 만든 것이라면 (type 1)
◦
det(B)=−det(A)det(B) = -det(A)

Thm 4.6

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행렬의 한 행에 scalar곱을 해서 다른 행에 더해도 (type 3 operation) det는 변하지 않는다.
◦
(행렬을 사다리꼴로 만들면 그 행렬의 det는 pivot들의 곱이 된다. cofactor expansion 보다 간편하다)
Made with