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수학/ 기본행렬연산, 연립 선형 방정식

기본행렬연산

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m×nm \times n 행렬 A\bold{A}에 대해 A\bold{A}의 행(열)에 대한 다음 3가지 연산을 기본행(열)연산(elementary row(column) operation)이라 한다.
1.
A\bold{A}의 두 행(열)을 교환하는 것
2.
A\bold{A}의 한 행(열)에 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것
3.
A\bold{A}의 한 행(열)에 다른 행(열)의 스칼라배를 더하는 것
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행 연산(row operation)과 열 연산(column operation)을 통틀어 기본연산(elementary operation)이라 한다. 기본연산의 1, 2, 3을 각각 1형(type), 2형, 3형이라 한다.
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n×nn \times n 기본행렬(elementary matrix)은 항등행렬 In\bold{I}_n에 기본연산을 적용하여 얻은 행렬이다. In\bold{I}_n에 1형, 2형, 3형 연산을 하여 얻은 행렬을 각각 1형, 2형, 3형이라 한다.
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예컨대 I3\bold{I}_3의 1행과 2행을 교환하면 다음 기본행렬을 얻는다.
E=(010100001)\bold{E} = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
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어떤 행렬에 기본행연산을 적용하는 것은 그 행렬에 적절한 기본행렬을 곱하는 것과 동일하다.
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기본행렬은 가역이다. 그 역행렬은 같은 종류의 기본행렬이다.

연립 일차 방정식(system of linear equations)

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m×nm \times n 행렬을 아래의 연립 일차 방정식의 계수행렬(coefficient matrix)라고 할 수 있다.
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+...+amnxn=bm\begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + ... + a_{1n} x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + ... + a_{2n} x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + ... + a_{mn} x_n &= b_m \end{aligned}
A=(a11a12...a1na21a22...a2n⋮⋮⋮am1am2...amn)\bold{A} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right)
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x\bold{x}와 b\bold{b}도 다음과 같이 정의하면 연립 방정식은 하나의 행렬식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}로 나타낼 수 있다.
x=(x1x2⋮xn),b=(b1b2⋮bn)\bold{x} = \left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{matrix} \right), \bold{b} = \left( \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\end{matrix} \right)
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As=b\bold{As}=\bold{b}인 nn 순서쌍 s\bold{s}를 연립 일차 방정식의 해(solution)라 하고, 연립 일차 방정식의 해들의 집합을 이 연립 일차 방정식의 해집합이라 한다.
s=(s1s2⋮sn)∈Fn\bold{s} = \left( \begin{matrix} s_{1} \\ s_{2} \\ \vdots \\ s_{n}\end{matrix} \right) \in F^n
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연립 일차 방정식의 해집합이 공집합이 아니면 이 연립 일차 방정식을 모순이 없다(consistent) 또는 해가 존재한다고 하며, 그렇지 않은 경우 모순이 있다(inconsistent) 또는 해가 존재하지 않는다고 한다.
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nn개의 미지수와 mm개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}는 b=0\bold{b} = \bold{0}일 때 동차(homogeneous)라 한다. 동차가 아닌 연립방정식은 비동차(non-homogeneous)이다.
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임의의 동차 연립일차 방정식은 적어도 하나의 해(영벡터)가 있다.
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체 FF에서 nn개의 미지수와 mm개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 Ax=0\bold{Ax}= \bold{0}을 생각하자. 방정식 Ax=0\bold{Ax} =\bold{0}의 해집합을 KK라 할 때, K=N(LA)K= N(L_\bold{A})이다. 즉 KK는 FnF^n의 부분공간이고 차원은 n−rank(LA)=n−rank(A)n - \text{rank}(L_\bold{A}) = n - \text{rank}(\bold{A})이다.
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m<nm < n이면 연립방정식 Ax=0\bold{Ax} = \bold{0}은 영벡터가 아닌 해가 있다.
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모순이 없는 연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}의 해집합을 KK, 대응하는 연립일차 방정식 Ax=0\bold{Ax} = \bold{0}의 해집합을 KHK_H라 하자. Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}의 임의의 해를 s\bold{s}라 하면 다음이 성립한다.
K={s}+KH={s+k:k∈KH}K = \{\bold{s}\} + K_H = \{ \bold{s} + \bold{k} : \bold{k} \in K_H \}
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nn개의 미지수와 mm개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}를 생각하자. 행렬 A\bold{A}가 가역이면 이 연립일차방정식은 유일한 해 A−1b\bold{A}^{-1}\bold{b}가 있다. 역으로 이 방정식의 해가 유일하면 행렬 A\bold{A}는 가역이다.
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연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}에 모순이 없기 위한 필요충분조건은 rank(A)=rank(A∣b)\text{rank}(\bold{A}) = \text{rank}(\bold{A}|\bold{b})이다.
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두 연립일차방정식의 해집합이 서로 같을 떄, 두 연립일차방정식은 동치(equivalent)라고 한다.
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nn개의 미지수와 mm개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}와 m×mm \times m 가역행렬 C\bold{C}에 대해 다음 두 연립일차방정식은 동치이다.
Ax=b,(CA)x=Cb\bold{Ax} = \bold{b}, (\bold{CA})\bold{x} = \bold{Cb}
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nn개의 미지수와 mm개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}를 생각하자. 첨가행렬 (A∣b)(\bold{A}|\bold{b})에 기본행연산을 유한 번 적용하여 (A′∣b′)(\bold{A}'|\bold{b}')를 얻을 수 있다면 A′x=b′\bold{A}'\bold{x} = \bold{b}'은 처음 주어진 연립일차방정식과 동치이다.
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다음 세 조건을 만족하는 행렬을 행간소사다리꼴 또는 기약행사다리꼴(reduced row echelon form)이라 한다.
1.
0이 아닌 성분을 가지는 행은 모든 성분이 0인 행보다 위에 위치한다. (모든 성분이 0이 아닌 행이 존재하지 않을 수도 있다.)
2.
각 행의 처음으로 0이 아닌 성분은 그 성분을 포함한 열에서 유일하게 0이 아닌 성분이다.
3.
각 행의 처음으로 0이 아닌 성분은 1이고, 이전 행의 처음으로 0이 아닌 성분보다 오른쪽에 위치한다.
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아래는 행간사다리꼴의 예이다.
(1210∣50100∣20001∣3)\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 & \vert & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \vert & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vert & 3 \end{matrix} \right)
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가우스 소거법은 임의의 행렬을 행간소사다리꼴로 바꾸어준다.
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연립일차방정식의 해가 존재하기 위한 필요충분조건은 첨가행렬을 정리하여 행간사다리꼴을 만들 때 0이 아닌 유일한 성분이 마지막열에 있는 행이 존재하지 않는 것이다. 그렇지 않으면 처음 연립방정식에 모순이 있다.
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연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}에 가우스 소거법을 사용하여 첨가행렬 (A∣b)(\bold{A}|\bold{b})를 (A′∣b′)(\bold{A}'|\bold{b}')로 바꾸고 행간사다리꼴 형식으로 만들어지면 이 연립방정식을 풀어 임의의 해 꼴로 바꾸어준다.
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이때 rr은 A′\bold{A}'의 0이 아닌 행의 개수이다. r≤mr \leq m
s=s0+t1u1+t2u2+...+tn−run−r\bold{s} = \bold{s}_0 + t_1\bold{u}_1 + t_2\bold{u}_2 + ... + t_{n-r} \bold{u}_{n-r}
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이 식을 연립일차방정식 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}의 일반해(general solution)이라 한다. 일반해는 Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}의 임의의 해 s\bold{s}를 n−rn-r개의 매개변수로 표현한 것이다.
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Ax=b\bold{Ax} = \bold{b}를 nn개의 미지수와 rr개의 영이 아닌 방정식으로 이루어진 연립일차방정식이라 하자. rank(A)=rank(A∣b)\text{rank}(\bold{A}) = \text{rank}(\bold{A}|\bold{b})이고 (A∣b)(\bold{A}|\bold{b})가 행간소사다리꼴이면 다음이 성립한다.
1.
rank(A)=r\text{rank}(\bold{A}) = r
2.
앞서 과정을 거쳐 얻은 일반해가 다음과 같은 꼴이라 하면, 이때 {u1,u2,...,un−r}\{\bold{u}_1, \bold{u}_2, ... , \bold{u}_{n-r}\}는 대응하는 동차 연립일차방정식의 해집합의 기저이고, s0\bold{s}_0은 처음 연립일차방정식의 해이다.
s=s0+t1u1+t2u2+...+tn−run−r\bold{s} = \bold{s}_0 + t_1\bold{u}_1 + t_2\bold{u}_2 + ... + t_{n-r} \bold{u}_{n-r}
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랭크가 rr인 m×nm \times n 행렬 A\bold{A}에 대하여 (단 r>0r > 0) 행간소사다리꼴을 B\bold{B}라 하면 다음이 성립한다.
1.
B\bold{B}의 0이 아닌 행의 개수는 rr이다.
2.
각 i=1,2,...,ri = 1,2,...,r에 대하여 bji=ei\bold{b}_{j_i} = \bold{e}_i인 B\bold{B}의 열 bji\bold{b}_{j_i}가 존재한다.
3.
A\bold{A}의 j1,j2,...,jr\bold{j}_1, \bold{j}_2,...,\bold{j}_r 열은 선형독립이다.
4.
각 k=1,2,...,nk = 1,2,..., n에 대하여 B\bold{B}의 kk 열이 d1e1+d2e2+...+drerd_1\bold{e}_1 + d_2 \bold{e}_2 + ... + d_r \bold{e}_r 면 A\bold{A}의 kk열은 d1aj1+d2aj2+...+drajrd_1\bold{a}_{j_1} + d_2 \bold{a}_{j_2} + ... + d_r \bold{a}_{j_r} 다.
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행렬의 행간소사다리꼴은 유일하다.

참조

•
Made with