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수학/ 가능도(Likelihood), MLE, NLL, Marginal Likelihood

가능도(Likelihood)

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확률 함수를 이용해서 데이터를 만드는 것은 쉽지만, 그 반대는 어렵다. 그런데 현실의 문제는 관찰된 데이터로부터 그 데이터를 잘 설명하는 확률 모델을 만들고 고르는 것이기 때문에, —그래야 그 모델을 이용해 새로운 데이터를 예측할 수 있으니까— 만들어진 모델이 현실의 데이터를 얼마나 잘 설명하는지를 따져야 하는데, 그 개념이 바로 Likelihood이다.
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파라미터 θ\boldsymbol{\theta}로 정의된 확률 함수 p(x;θ)p(\bold{x};\boldsymbol{\theta}) —pθ(x)p_{\boldsymbol{\theta}}(\bold{x})로 표기하기도 함— 에 대해, 이 확률 함수에 대한 가능도 함수(likelihood function)는 다음과 같이 정의한다.
L(θ;x)≜p(x;θ)L(\boldsymbol{\theta};\bold{x}) \triangleq p(\bold{x};\boldsymbol{\theta})
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확률 함수 p(x;θ)p(\bold{x};\boldsymbol{\theta})는 고정된 θ\boldsymbol{\theta}를 이용하여 입력 x\bold{x}에 대한 결과를 계산하는 반면, 가능도 함수 L(θ;x)L(\boldsymbol{\theta};\bold{x})을 고정된 x\bold{x}를 이용하여 입력 θ\boldsymbol{\theta}에 대한 결과를 계산한다.
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이것을 직관적으로 표현하면 Likelihood는 함수의 파라미터 θ\boldsymbol{\theta}가 주어진 데이터 x\bold{x}를 얼마나 잘 설명하는지를 측정하는 것이라고 할 수 있다.
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확률 질량 또는 밀도 함수 p(x∣θ)p(\bold{x}|\boldsymbol{\theta})가 현실의 데이터 (x1,x2,...,xN)(\bold{x}_1, \bold{x}_2,...,\bold{x}_N)를 얼마나 잘 설명하는지는 해당 함수에 실제로 데이터를 집어 넣고 그 결과 값을 모두 곱해서 측정할 수 있다. 이를 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.
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이것이 바로 확률 함수의 Likelihood 계산 방법이다.
L(θ∣x1,x2,...,xN)=∏i=1Np(xi∣θ)L(\boldsymbol{\theta}|\bold{x}_1,\bold{x}_2,...,\bold{x}_N) = \prod_{i=1}^{N} p(\bold{x}_i|\boldsymbol{\theta})
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이산형 데이터의 경우 확률 질량 함수는 0-1의 값을 가지므로 그 곱인 likelihood는 0-1사이의 값이 되는 반면, 연속형 데이터의 경우 확률 밀도 함수는 밀도 —구간에 대한 적분값— 를 제공하기 때문에 1보다 클 수 있어서 likelihood가 1보다 클 수 있다.
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이 때문에 Likelihood는 확률이 아니다.
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주의)
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정의에서 사용한 p(x;θ)p(\bold{x};\boldsymbol{\theta})와 L(θ;x)L(\boldsymbol{\theta};\bold{x}) 표기는 고정된 변수와 변하는 변수를 나타내는 반면, 실제 함수 값을 계산할 때 p(x∣θ)p(\bold{x}|\boldsymbol{\theta})와 L(θ∣x1,...,xN)L(\boldsymbol{\theta}|\bold{x}_1,...,\bold{x}_N) 표기는 각각 θ\boldsymbol{\theta}가 주어졌을 때의 x\bold{x}의 확률과 x1,...,xN\bold{x}_1,...,\bold{x}_N가 주어졌을 때 θ\boldsymbol{\theta}의 가능도를 의미한다. 비슷해 보이지만 다른 개념이므로 주의.
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일반적으로 곱으로 계산하는 것보다 log를 씌운 후 합을 계산하는 것이 간편하기 때문에 다음과 같이 Log를 씌운 Log Likelihood를 사용한다.
log⁡L(θ∣x1,x2,...,xn)=∑i=1Nlog⁡p(xi∣θ)\log L(\boldsymbol{\theta}|\bold{x}_1,\bold{x}_2,...,\bold{x}_n) = \sum_{i=1}^{N} \log p(\bold{x}_i|\boldsymbol{\theta})

최대 가능도 추정(Maximum Likelihood Estimation)

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가능도가 모델이 데이터를 얼마나 잘 설명하느냐에 대한 것이므로, 데이터를 가장 잘 설명하는 모델을 찾는게 필요하고, 그래서 가장 높은 가능도를 찾는 것이 최대 가능도 추정(Maximum Likelihood Estimation, MLE)이다.
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MLE는 확률 함수에서 주어진 표본 데이터를 관찰할 확률을 최대화하는 파라미터를 찾는 것인데, 이것은 분포의 mode(최빈값)을 찾는 것과 연결되어 있다.
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관찰 된 데이터에 의해 Likelihood를 최대화 하는 것은 다음과 같이 정의 된다.
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아래 식에서 p(D∣θ)p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta})는 θ\boldsymbol{\theta}로 파라미터화 된 확률 함수, D\mathcal{D}는 관찰된 데이터셋(입력 x\bold{x}), arg max⁡θ\argmax_{\boldsymbol{\theta}}는 주어진 함수 p(D∣θ)p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta})에서 θ\boldsymbol{\theta}를 최대화 한다는 의미이다.
θ^mle≜arg max⁡θp(D∣θ)\hat{\boldsymbol{\theta}}_{\text{mle}} \triangleq \argmax_{\boldsymbol{\theta}} p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta})
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샘플이 동일한 분포에서 독립적으로 뽑혔다고 가정 하면 —이를 independent and identically distributed, iid라고 한다— likelihood는 다음과 같이 된다.
p(D∣θ)=∏i=1Np(yi∣xi,θ)p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}) = \prod_{i=1}^{N} p(\bold{y}_i|\bold{x}_i, \boldsymbol{\theta})
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곱 보다는 log를 씌운 후 합하는 것이 간편하므로 다음과 같이 변경한다.
θ^mle=arg max⁡θ∑i=1Nlog⁡p(yi∣xi,θ)\hat{\boldsymbol{\theta}}_{\text{mle}} = \argmax_{\boldsymbol{\theta}} \sum_{i=1}^{N} \log p(\bold{y}_i|\bold{x}_i, \boldsymbol{\theta})
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위와 같이 log likelihood 함수를 θ\theta로 편미분한 후, 그 식을 0을 만족시키는 θ\boldsymbol{\theta} 값을 찾으면 θ\boldsymbol{\theta}의 MLE가 된다.
θmle=∂∂θL(θ)=∂∂θ∑i=1Nlog⁡p(yi∣xi,θ)=0\boldsymbol{\theta}_{mle} = {\partial \over \partial \boldsymbol{\theta}} \mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}) = {\partial \over \partial \boldsymbol{\theta}} \sum_{i=1}^{N} \log p(\bold{y}_i|\bold{x}_i,\boldsymbol{\theta}) = \bold{0}

Negative Log Likelihood

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참고로 최적화 알고리즘은 비용 함수(cost function)을 최소화하도록 설계되므로 목적 함수를 위의 log likelihood에 마이너스를 붙인 Negative Log Likelihood(NLL)로 사용한다.
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log 함수에 음을 씌우면, 1을 기준으로 0-1사이의 값은 양의 값을 갖고(0에 가까워질 수록 무한대로 감), 1이상의 값은 음의 값을 갖는 모양이 나온다. 이때 0-1사이의 값만 사용하면 마치 확률처럼 사용이 가능하기 때문에 log likelihood에 음을 씌워 비용함수로 사용한다.
NLL(θ)≜−log⁡p(D∣θ)=−∑n=1Nlog⁡p(yn∣xn,θ)\text{NLL}(\boldsymbol{\theta}) \triangleq -\log p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}) = - \sum_{n=1}^{N} \log p(\bold{y}_n|\bold{x}_n, \boldsymbol{\theta})
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이 NLL을 최소화하면 MLE를 최대화하는 것과 동일하므로 다음과 같이 사용한다.
θ^mle=arg min⁡θ−∑n=1Nlog⁡p(yn∣θ)\hat{\boldsymbol{\theta}}_{\text{mle}} = \argmin_{\boldsymbol{\theta}} - \sum_{n=1}^{N} \log p(\bold{y}_n|\boldsymbol{\theta})
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참고로 Posterior의 Mode(최빈값, 분포의 peak)를 찾는 MAP(Maximum A Posterior) 추정이라는 개념이 존재하는데, 조건에 따라 MLE 추정은 MAP 추정과 같아지는 경우가 존재한다.
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NLL은 손실을 최소화하는 파라미터를 찾으려 하기 때문에 과적합(overfitting)이 발생할 여지가 있다. 이를 방지하기 위해 규제(regularization) 항을 추가하여 목적함수를 정의할 수도 있다.
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일반적으로 최소화하려는 θ\boldsymbol{\theta} 자체를 (λ\lambda라고 불리는 비율만큼 가중하여) 식에 더하고 —제곱하여 더하면 L2, 절대값을 더하면 L1이라고 표현한다—, 전체 식에서 θ\boldsymbol{\theta}를 최소화하는 식으로 구성한다.

Marginal Likelihood

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모델 M\mathcal{M}의 marginal likelihood 또는 evidence는 모델의 모든 파라미터를 적분한 것으로, 다음처럼 정의된다.
p(D∣M)=∫p(θ∣M)p(D∣θ,M)dθp(\mathcal{D}|\mathcal{M}) = \int p(\boldsymbol{\theta}|\mathcal{M})p(\mathcal{D}|\boldsymbol{\theta}, \mathcal{M}) d\boldsymbol{\theta}
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이것은 모델 M\mathcal{M}이 주어졌을 때, 데이터 D\mathcal{D}의 확률을 나타내므로, 모델이 주어진 데이터를 얼마나 잘 설명하는지를 나타내는 의미를 갖게 된다.
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고로 높은 marginal likelihood를 갖는 모델은 데이터를 더 잘 설명하는 모델이라는 뜻이 된다.
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Marginal Likelihood는 leave-one-out cross-validation(LOCCV)과도 가깝게 연관된다.

참고

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