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수학/ 베르누이 분포, 이항 분포, 카테고리 분포, 다항 분포

베르누이 분포, 이항 분포, 카테고리 분포, 다항 분포는 모두 이산 확률 분포이며 확률 질량 함수(PMF)로 정의된다.

베르누이 분포

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베르누이 분포는 0, 1의 값을 갖는 확률 분포. 1이 나올 확률을 의미하는 매개 변수 θ\theta를 이용하여 다음과 같이 정의한다.
Bern(x;θ)≜{θ(x=1)1−θ(x=0)\text{Bern}(x;\theta) \triangleq \begin{cases} \theta & (x = 1) \\ 1 - \theta & (x = 0)\end{cases}
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이 식을 하나로 합치면 다음과 같이 정의할 수 있다.
Bern(x;θ)=θx(1−θ)1−x\text{Bern}(x;\theta) = \theta^{x}(1-\theta)^{1 - x}
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만약 베르누이 확률변수의 표본값이 1과 0이 아니라 1과 -1이라는 값을 가진다면 다음과 같은 수식으로 써야 한다.
Bern(x;θ)=θ(1+x)/2(1−θ)(1−x)/2\text{Bern}(x;\theta) = \theta^{(1+x) / 2}(1-\theta)^{(1 - x) / 2}
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베르누이 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같이 정의 된다.
E[X]=θV[X]=θ(1−θ)\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &= \theta \\ \mathbb{V}[X] &= \theta(1-\theta) \end{aligned}

베르누이 분포의 Maximum Likelihood Estimation

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베르누이 분포의 Likelihood 함수는 다음과 같이 정의 됨.
L(θ)=∏i=1Nθxi(1−θ)1−xi\mathcal{L}(\theta) = \prod_{i=1}^{N} \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}
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Log를 씌우면 다음과 같이 된다.
ℓ(θ)=∑i=1N[xilog⁡θ+(1−xi)log⁡(1−θ)]\ell(\theta) = \sum_{i=1}^{N} [x_i \log \theta + (1-x_i) \log(1-\theta)]
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위 식에 대해 θ\theta로 편미분하고 그 식을 0으로 만드는 값을 찾으면 다음과 같이 θ\theta의 MLE가 구해진다.
θMLE=1N∑i=1Nxi\theta_{MLE} = {1 \over N} \sum_{i=1}^{N} x_i

이항 분포

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베르누이 분포를 nn번 시행해서 kk번 성공한 분포로 다음과 같이 정의 된다.
◦
베르누이 분포는 시행 횟수가 1인 이항 분포의 특수한 경우이다.
Bin(k;n,θ)≜(nk)θk(1−θ)n−k\text{Bin}(k;n,\theta) \triangleq \binom{n}{k} \theta^{k} (1-\theta)^{n - k}
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이 식에서 (nk)\binom{n}{k} 기호는 nn개 원소 중에 kk개 원소를 순서와 상관없이 선택할 수 있는 경우의 수를 뜻한다. 조합은 다음 공식으로 계산할 수 있다.
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = {n! \over k!(n-k)!}
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이항 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같이 정의 된다.
E[X]=NθV[X]=Nθ(1−θ)\begin{aligned} \mathbb{E}[X] &= N \theta \\ \mathbb{V}[X] &= N \theta (1-\theta) \end{aligned}

이항 분포의 Maximum Likelihood Estimation

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이항 분포는 베르누이 분포를 NN번 시행에 대한 것으로 MLE는 베르누이 분포와 같다.
θMLE=1N∑i=1Nxi\theta_\text{MLE} = {1 \over N} \sum_{i=1}^{N} x_i

카테고리 분포

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카테고리 분포는 0, 1이 아닌 KK개의 class를 가질 수 있는 분포로 다음과 같이 정의 된다.
◦
베르누이 분포는 클래스가 1인 카테고리 분포의 특수한 경우이다.
◦
아래 식에서 I(x=c)\mathbb{I}(x=c)는 x=cx=c일 때 1, 아니면 0을 반환하는 함수이다.
◦
이 식에서 파라미터 θ\boldsymbol{\theta}는 0≤θk≤10 \leq \theta_k \leq 1과 ∑c=1Kθc=1\sum_{c=1}^{K} \theta_c = 1이 되도록 제한된다.
Cat(x∣θ)≜∏c=1KθcI(x=c)\text{Cat}(x|\boldsymbol{\theta}) \triangleq \prod_{c=1}^{K} \theta_{c}^{\mathbb{I}(x=c)}
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카테고리 분포는 원-핫 인코딩을 이용해서 정의가 가능한데, 이 경우 다음처럼 정의할 수 있다.
◦
아래 식에서 x\bold{x}는 길이가 KK인 원-핫 인코딩 —1개만 1이고 나머지는 모두 0인— 벡터이다.
Cat(x∣θ)≜∏c=1Kθcxc\text{Cat}(\bold{x}|\boldsymbol{\theta}) \triangleq \prod_{c=1}^{K} \theta_{c}^{x_c}
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참고) 벡터가 지수로 올라가면, 벡터의 각 요소만큼 반복된다. 예컨대 위의 경우 K=3K = 3일 때 계산은 다음과 같이 된다.
c=1→x=[1,0,0],Cat(x∣θ)=θ11×θ20×θ30=θ1c=2→x=[0,1,0],Cat(x∣θ)=θ10×θ21×θ30=θ2c=3→x=[0,0,1],Cat(x∣θ)=θ10×θ20×θ31=θ3c = 1 \to \bold{x} = [1,0,0], \text{Cat}(\bold{x}|\boldsymbol{\theta}) = \theta_1^1 \times \theta_2^0 \times \theta_3^0 = \theta_1 \\ c = 2 \to \bold{x} = [0,1,0], \text{Cat}(\bold{x}|\boldsymbol{\theta}) = \theta_1^0 \times \theta_2^1 \times \theta_3^0 = \theta_2 \\ c = 3 \to \bold{x} = [0,0,1], \text{Cat}(\bold{x}|\boldsymbol{\theta}) = \theta_1^0 \times \theta_2^0 \times \theta_3^1 = \theta_3
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카테고리 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같이 정의 된다.
E[xc]=θcV[xc]=θc(1−θc)\begin{aligned} \mathbb{E}[x_c] &= \theta_c \\ \mathbb{V}[x_c] &= \theta_c(1-\theta_c) \end{aligned}

카테고리 분포의 Maximum Likelihood Estimation

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카테고리 분포는 베르누이 분포를 kk개의 범주에 대해 일반화한 것으로 MLE는 다음과 같이 정의된다.
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아래 식에서 NNNkN_k NkN_k는 kk번째 범주가 발생한 횟수.
θkMLE=NkN\theta_{k_{MLE}} = {N_k \over N}

다항 분포

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다항 분포는 카테고리 분포를 NN번 시행한 분포로 다음과 같이 정의 된다.
◦
카테고리 분포는 시행 횟수가 1인 다항 분포의 특수한 경우이다.
◦
시행 횟수가 늘어났기 때문에, 여기서 xcx_c는 원-핫 인코딩이 아니다.
Mu(x;N,θ)≜(Xn)∏c=1Kθcxc=(Nx1,...xK)∏c=1Kθcxc\text{Mu}(\bold{x};N,\boldsymbol{\theta}) \triangleq \binom{X}{n} \prod_{c=1}^{K} \theta_c^{x_c} = \binom{N}{x_1, ... x_K} \prod_{c=1}^{K} \theta_c^{x_c}
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다항 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같이 정의 된다.
E[xc]=NθcV[xc]=Nθc(1−θc)\begin{aligned} \mathbb{E}[x_c] &= N\theta_c \\ \mathbb{V}[x_c] &= N\theta_c(1-\theta_c) \end{aligned}

다항 분포의 Maximum Likelihood Estimation

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다항 분포는 카테고리 분포의 NN번 시행에 대한 것으로 MLE는 카테고리 분포와 같다.
◦
아래 식에서 NNNkN_k NkN_k는 kk번째 범주가 발생한 횟수.
θkMLE=NkN\theta_{k_{MLE}} = {N_k \over N}

참고

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Made with