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수학/ 적률(Moments) - 기댓값, 분산, 왜도, 첨도

적률(Moments)

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적률은 수학에서 함수의 모양을 표현하는 척도로 다음과 같이 정의 됨. 이 개념이 물리학이나 통계에서도 사용 됨.
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통계의 경우 평균, 분산, 왜도, 첨도 등이 적률이나 아래의 중심 적률, 표준화 적률 등을 이용해서 유도된다.
μn≜∫−∞∞(x−c)nf(x)dx\mu_n \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} (x-c)^n f(x) dx
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통계와 물리학에서 쓰이는 moment는 미묘하게 다르긴 하지만 기본적으로 물체나 분포에 대한 특성을 나타내는 값이라고 볼 수 있음.
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1차 모멘트는 정적 모멘트 또는 중심이라고 하며 물체의 질량 중심을 나타내는데, 때문에 통계에서는 평균에 대응됨.
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2차 모멘트는 관성 모멘트 또는 회전 관성이라고 하며, 물체가 회전에 얼마나 저항하는지를 나타냄. 이것은 회전축에 대한 물체의 분포를 나타내기 때문에 통계에서는 분산에 대응됨.
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3차 모멘트는 기울어진 모멘트, 비대칭성이라고 하며 물체의 모양이 얼마나 비대칭적인지를 나타냄. 때문에 통계에서는 왜도(skewness)에 대응됨.

통계에서의 적률

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통계에서는 적률은 위 식에 c=0c = 0을 대입하여 정의한다. 그리고 이것을 μ′\mu'을 써서 표기한다.
μn′≜∫−∞∞xnf(x)dx\mu_n' \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) dx

중심 적률

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통계에서 중심 적률은 수학의 적률과 유사한데, c=μc = \mu를 써서 표기한다. μ\mu는 평균값.
μn≜∫−∞∞(x−μ)nf(x)dx\mu_n \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^n f(x) dx

표준화 적률

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통계에서 표준화 적률은 다음과 같이 정의된다. μ\mu는 평균이고 σ\sigma는 표준편차. 표준화 적률은 μ~\tilde{\mu}로 표기한다.
μ~n≜μnσn\tilde{\mu}_n \triangleq {\mu_n \over \sigma^n}

적률 생성 함수

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적률 생성 함수(Moment Generating Function, MGF)는 말 그대로 적률을 생성하는 함수이다. 적률 생성 함수는 다음과 같이 정의 된다.
MX(t)≜E[etX]M_X(t) \triangleq \mathbb{E}[e^{tX}]
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위 식의 etXe^{tX}를 테일러 전개한 후, 1번 미분하면 1차 적률 E[X]E[X]이 만들어지고, 2번 미분하면 2차 적률 E[X2]E[X^2]이 만들어지고, nn번 미분하면 nn차 적률 E[Xn]E[X^n]이 만들어진다.
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실제 전개에 대해서는 참고의 링크 참조.

분포의 적률

기댓값(expected value), 평균(mean)

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분포의 기댓값(또는 평균)은 다음과 같이 정의 된다.
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평균은 1차 적률에서 유도 가능하다.
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이산 확률의 경우
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여기서 xx는 집합 XX내의 원소의 값이고, p(x)p(x)는 그 원소에 대한 확률이다.
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원소에 대해 원소의 확률을 곱한 것을 모두 합하면 이산 확률의 기대값이 된다.
E[X]≜∑x∈Xxp(x)\mathbb{E}[X] \triangleq \sum_{x \in X} x p(x)
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연속 확률의 경우
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기본 개념은 이산인 경우와 같지만, 연속인 경우 더하기(sum)가 성립하지 않기 때문에, 적분을 이용한다.
E[X]≜∫Xxp(x)dx\mathbb{E}[X] \triangleq \int_X x p(x) dx

분산(variance)

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분산은 분포의 퍼진 정도를 측정하는 개념으로 다음과 같이 정의 된다. (아래 식에서 μ\mu는 평균을 의미)
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분산은 2차 중심 적률에서 유도 가능하다.
V[X]≜E[(X−μ)2]=E[X2]−(E[X])2\mathbb{V}[X] \triangleq \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2
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분산은 σ2\sigma^2으로 표현되는데, 여기서 σ\sigma는 표준편차를 의미한다.

왜도(Skewness)

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왜도는 분포의 비대칭도를 측정하는 개념으로 다음과 같이 정의 된다. (아래 식에서 μ\mu는 평균을 의미)
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왜도는 3차 표준화 적률에서 유도 가능하다.
g1=n(n−1)(n−2)∑i=1n(xi−μσ)3g_1 = {n \over (n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n} \left( {x_i - \mu \over \sigma} \right)^3

첨도(Kurtosis)

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첨도는 분포의 뾰족함을 측정하는 개념으로 다음과 같이 정의 된다.
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첨도는 4차 표준화 적률에서 유도 가능하다.
g2=n(n+1)(n−1)(n−2)(n−3)∑i=1n(xi−μσ)4−3(n−1)2(n−2)(n−3)g_2 = {n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^{n} \left( {x_i - \mu \over \sigma} \right)^4 - {3(n-1)^2 \over (n-2)(n-3)}

참고

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