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AI/ Transformations

Transformations

아래 변환은 모두 NN차원 공간에 대해 성립하지만, 간단함을 위해 2d 형태로 설명한다.

Isometric transformation

Isometric transformation은 거리를 보존하는 변환이다. 가장 기본적인 형식에서 isometry는 rotation RR과 translation tt로 설명된다. 따라서 수학적으로 다음처럼 정의된다.
[x′y′1]=[Rt01][xy1]\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix}

Similarity transformation

Similarity transformation은 shape을 보존하는 변환이다. 직관적으로 isometric transfomation과 scaling이 가능한 모든 작업을 수행할 수 있다. 수학적으로 다음처럼 표기된다.
[x′y′1]=[SRt01][xy1]\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} SR & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix}
여기서
S=[s00s]S = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s\end{bmatrix}
이것이 shape을 보존하므로 그들은 또한 길이와 각도의 비율을 보존한다. 모든 isometric transformation이 s=1s=1인 similarity transformation의 특별한 형식임에 유의하라. 그러나 그 반대는 성립하지 않는다.

Affine transformation

Affine transformation은 점, 직선, 평행성을 보존하는 변환이다. 어떤 벡터 vv에 대해 affine transformation TT는 다음과 같이 정의된다.
T(v)=Av+tT(v) = Av + t
여기서 AA는 Rn\mathbb{R}^n의 선형 변환이다. homogeneous 좌표에서 affine transformation은 종종 다음과 같이 작성된다.
[x′y′1]=[At01][xy1]\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix}
위의 방정식에서 모든 similarities(그리고 따라서 isometric)이 affinities의 특별한 경우임을 쉽게 볼 수 있다.

Projective transformation

Projective transformation 또는 homographies는 line을 line으로 매핑하는 임의의 변환이지만 평행성을 보존할 필요가 없다. homogeneous 좌표계에서 projective transformation은 다음처럼 표현된다.
[x′y′1]=[Atvb][xy1]\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & t \\ v & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ 1\end{bmatrix}
여기서 vv는 1×21\times 2 행렬로 투영 변환의 일부로 점의 왜곡을 표현한다. 이것은 비선형적인 왜곡 요소를 추가하여 투영 변환을 보완한다. bb는 스칼라 값으로 주로 1로 설정되지만 비선형 변환의 일부로 더 복잡한 값을 가질 수 있다. 1을 사용하는 이유는 변환이 동차 좌표에서 정규화 되기 때문이다.
이 형식이 affine transformation을 더 일반화한 것임을 볼 수 있다.
평행성을 보존하지 않음에도 projective transformation은 line을 line으로 매핑하므로 점의 collinearity(동선성)를 보존한다. 게다가 collinear(동선) 상의 4개 점의 교차 비율이 projective transformation 에 대해 불변으로 유지된다. cross ratio는 한 line에서 4개 점 P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4을 취하고 다음과 같이 계산한다.
cross ratio=∥P3−P1∥∥P4−P2∥∥P3−P2∥∥P4−P1∥\text{cross ratio} = {\|P_3-P_1\|\|P_4-P_2\| \over \|P_3-P_2\|\|P_4-P_1\|}

참고

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