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수학/ Poisson, Negative Binomial 분포

Poisson distribution

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X∈{0,1,2,...}X \in \{0,1,2,...\}을 가정하자. 만일 pmf가 다음과 같다면 확률 변수가 파라미터 λ>0\lambda >0인 Poisson 분포(X∼Poi(λ)X \sim \text{Poi}(\lambda))를 갖는다고 말한다.
Poi(x∣λ)=e−λλxx!\text{Poi}(x|\lambda) = e^{-\lambda}{\lambda^x \over x!}
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여기서 λ\lambda는 xx의 평균(과 분산)이다.

Negative binomial distribution

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NN개 공이 있는 ‘항아리(urn)’가 있다고 가정하자. RR은 빨간공이고 BB는 파란공이다.
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n≥1n \ge 1 공을 얻을 때까지 교체를 통해 샘플링을 수행한다고 가정하자. XX를 파란공의 수를 나타내면 X∼Bin(n,p)X \sim \text{Bin}(n,p)로 볼 수 있다. 여기서 p=B/Np = B/N은 파란공의 비율이다. 따라서 XX는 binomial(이항) 분포를 따른다.
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이제 빨간공을 뽑는 것을 ‘실패’라고 하고, 파란공을 뽑는 것을 ‘성공’이라고 가정한다. rr개 실패를 관찰할 때까지 공을 뽑는다.
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XX를 성공의 수라 하면, 이것은 X∼NegBinom(r,p)X \sim \text{NegBinom}(r,p)로 볼 수 있다. 이것은 negative binomial distribution이라 하고 다음처럼 정의된다. x∈{0,1,2,...}x \in \{0,1,2,...\}
NegBinom(x∣r,p)≜(x+r−1x)(1−p)rpx\text{NegBinom}(x|r,p) \triangleq \binom{x+r-1}{x}(1-p)^r p^x
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rr이 실수이면 (x−1)!=Γ(x)(x-1)! = \Gamma(x)라는 사실을 이용하여 (x+r−1x)\binom{x+r-1}{x}를 Γ(x+r)x!Γ(r){\Gamma(x+r) \over x!\Gamma(r)}로 교체할 수 있다.
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이 분포는 다음의 moment(적률)을 갖는다.
E[x]=pr1−p,V[x]=pr(1−p)2\mathbb{E}[x] = {pr \over 1-p}, \mathbb{V}[x] = {pr \over (1-p)^2}
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이 2가지 파라미터 족은 평균과 분산을 분리하여 표현할 수 있기 때문에 푸아송 분포보다 더 유연한 모델링을 갖는다.
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예를 들어 발생 건수가 양의 상관관계를 가지며, 발생 건수가 독립적인 경우보다 더 큰 분산을 유발하는 ‘전염성’ 이벤트를 모델링하는데 유용하다.
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사실 Poi(λ)=lim⁡r→∞NegBinom(r,λ1+λ)\text{Poi}(\lambda) = \lim_{r \to \infty} \text{NegBinom}(r,{\lambda \over 1 + \lambda})으로 나타낼 수 있기 때문에 푸아송 분포는 negative binomial의 특별한 경우이다.
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또 다른 특별한 경우는 r=1r=1인 경우인데 이것은 geometric(기하) 분포라고 부른다.

참조

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