테일러 급수와 매클로린 급수는 모두 복잡한 함수를 다항식 함수로 근사하는 방법이다. 매클로린 급수는 테일러 급수에서 인 특별한 경우에 해당한다.
매클로린 급수
함수 에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 정의된다.
여기서 은 의 차 도함수를 의미한다.
위의 정의대로 실제로 작성하면 다음과 같은 모양이 된다.
에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 구한다.
에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 구한다.
에 대한 매클로린 급수는 다음과 같이 구한다.
테일러 급수
함수 의 점 에서의 테일러 급수는 다음과 같이 정의된다.
여기서 은 의 차 도함수를 의미한다.
위의 정의대로 실제로 작성하면 다음과 같은 모양이 된다.
함수에 대한 차 테일러 전개는 위 식을 번째 항까지 계산하는 것을 의미한다. 실제로는 차수가 높아질 수록 값이 빠르게 작아지기 때문에 많은 경우에 1차나 2차 도함수까지만 계산하여 근사를 구한다.
함수 에 대한 테일러 급수는 변위량 를 이용하여 다음과 같이 정의한다.
실제로 작성하면 다음과 같다.
벡터 함수 에 대해 에서의 2차 항까지의 테일러 전개는 다음과 같이 주어진다.
여기서 는 에 대한 헤시안 행렬이고, 는 2차 이상의 항을 나타낸다. 이 값은 매우 빠르게 0으로 수렴하므로 아예 없애고 아래처럼 근사 표현으로 작성할 수도 있다.
다변수 함수 에 대한 테일러 급수 전개를 2차까지 작성하면 다음과 같다. 마지막 줄에서 각 변수에 대한 2차 편미분이 추가된 것에 더해 두 변수로 각각 편미분하고 두 변수의 변위량을 곱한 항이 추가된 것을 볼 수 있다.
위의 식을 다변수 벡터 함수 형식으로 2차까지 작성하면 다음과 같다. (비교를 위해 는 스칼라로 둠)
테일러 전개를 각 변수에 대해 변위량을 이용하여 다음과 같이 전개할 수도 있다. (1차까지만 전개)
이것은 벡터 형식으로도 동일하게 확장 가능하다.
함수를 이용한 함수 근사
함수의 변위가 아니라 함수를 이용해서 다른 함수를 근사할 수 있다. 두 함수 가 존재하고, 함수 를 이용하여 함수 를 근사하려 할 때 테일러 전개를 사용할 수 있다. 를 이용하여 를 근사하는 2차 테일러 전개 식은 다음과 같다.
여기서 에서 를 근사하기 위한 변위량 는 함수 의 입력 와 함수 의 입력 의 차이가 된다.
위 식에 대한 벡터 함수 형식은 다음과 같다. 여기서 는 에 대한 헤시안 행렬이다.
두 함수가 다변량인 경우 는 다음과 같이 확장된다.
위 식에 대한 다변수 벡터 함수는 다음과 같이 작성된다. (비교를 위해 는 스칼라로 둠)
위의 경우에 대해 이고, 두 파라미터 중 하나가 같다고 하자. 즉 를 로 1차 테일러 근사하면 다음과 같다.
