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수학/ 기초 적분 연산

적분은 본래 무한 합을 구하는 연산이었는데 —원래 기호도 lim⁡∑\lim \sum로 썼다가 이후 간단히 ∫\int가 됨— , 미분의 역연산이라는 것이 밝혀져서 미분의 역연산이라는 개념으로 부정적분과 합을 구하는 의미의 정적분이 구분되었다.
미분이 연속인 경우에만 정의가 되는 것과 달리 —이산인 경우에는 차분— 적분은 연속과 이산 모두에서 정의가 된다. 연속인 경우에는 무한합의 의미가 되며, 이산인 경우에는 누적합의 의미가 된다. 미분의 역연산이 적분인 것과 마찬가지로 차분의 역연산도 적분이 된다.
적분은 덧셈(++) 연산으로 구할 수 없는 합을 구하는데도 사용된다. ex) 0-1 사이에 존재하는 무리수의 길이

적분 기호

부정적분은 미분의 역연산으로 적분할 함수와 함께 상수 CC를 표기한다. dxdx는 xx에 대해 적분을 수행한다는 의미
∫f(x)dx+C\int f(x) dx + C
정적분은 구간이 존재하므로 다음과 같이 표기한다. 정적분은 구간 내 실제 합을 구하기 때문에 상수 CC가 따로 없다.
S=∫abf(x)dxS = \int_{a}^{b} f(x) dx

상수 적분

∫C1dx=C1x+C2\int C_1 dx = C_1x + C_2

거듭제곱 적분

∫xndx=1n+1xn+1+C\int x^n dx = {1 \over n+1} x^{n+1} + C
만일 f(x)=1xf(x) = {1 \over x}이었다면 1−1+1x−1+1{1 \over -1 + 1} x^{-1 + 1}가 되어 정의가 되지 않는다. 이 경우에는 다음과 같이 적분된다.
∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int {1 \over x} dx = \ln |x| + C
같은 맥락에서 1(x+n){1 \over (x + n)}에 대해 다음처럼 적분된다.
∫1x+ndx=ln⁡∣x+n∣+C\int {1 \over x + n} dx = \ln |x + n| + C
1(x+n)2{1 \over (x + n)^2}인 경우 다음처럼 적분된다.
∫1(x+1)2dx=∫(x+1)−2dx=1−2+1(x+1)−2+1+C=−1x+n+C\int {1 \over (x+1)^2} dx = \int (x+1)^{-2} dx = {1 \over -2 + 1} (x+1)^{-2+1} + C=- {1 \over x+n} + C
이 꼴을 일반화 시키면 다음과 같다.
∫1(x+n)mdx=∫(x+n)−mdx=1−m+1(x+n)−m+1+C (m≠−1)\int {1 \over (x+n)^m} dx = \int (x+n)^{-m} dx = {1 \over -m+1} (x + n)^{-m+1} + C \ (m \neq -1)

지수 적분

∫axdx=axlog⁡ea+C=axln⁡a+C∫exdx=exlog⁡ee+C=ex+C\begin{aligned} \int a^x dx &= {a^x \over \log_e a} + C = {a^x \over \ln a} + C \\ \int e^x dx &= {e^x \over \log_e e} + C = e^x + C \end{aligned}

로그 적분

∫log⁡axdx=x(ln⁡x−1)ln⁡a+C∫log⁡exdx=x(ln⁡x−1)ln⁡e+C=x(ln⁡x−1)+C\begin{aligned} \int \log_a x dx &= {x (\ln x - 1) \over \ln a} + C \\ \int \log_e x dx &= {x (\ln x - 1) \over \ln e} + C = x(\ln x - 1) + C \end{aligned}

삼각함수 적분

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C=−ln⁡∣sec⁡x∣+C∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫csc⁡xdx=−ln⁡∣csc⁡x+cot⁡x∣+C=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned} \int \sin x dx &= -\cos x + C \\ \int \cos x dx &= \sin x + C \\ \int \tan x dx &= -\ln |\cos x| + C = -\ln|\sec x| + C \\ \int \sec x dx &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\ \int \csc x dx &= -\ln |\csc x + \cot x| + C = \ln |\csc x - \cot x| + C \\ \int \cot x dx &= \ln |\sin x| + C \end{aligned}

적분함수 연산

두 함수 f,gf, g와 상수 cc에 대해 다음의 적분 연산이 성립한다.
∫(cf(x)+g(x))dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dxf(x)g(x)=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx\begin{aligned} \int (cf(x) + g(x)) dx &= c \int f(x)dx + \int g(x)dx \\ f(x)g(x) &= \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x) dx \end{aligned}

정적분 계산

구간 [a,b][a, b]에 대한 정적분의 값은 다음과 같이 부정적분을 이용해서 구할 수 있다. 이를 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)라고 한다.
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

다변수 함수 적분

다변수 함수에 대해 여러 번 적분하는 경우 다음처럼 표기한다. 함수 안쪽에 가까운 것이 먼저 적분되므로 아래는 yy에 대해 먼저 적분하고 그 다음 xx에 대해 적분한다.
∫x∫yf(x,y)dydx\int_x \int_y f(x, y) dy dx
다변수 함수에서 특정 매개변수로 적분하면 상수항이 나머지 매개변수에 대한 것으로 정의된다. 이는 편미분할 때 해당 매개변수는 상수 취급 받고 사라지기 때문에 그 역연산인 부정적분에서 상수를 그 사라진 매개변수에 대한 함수로 정의한다.
∫yf(x,y)dy+C(x)\int_y f(x, y) dy + C(x)
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