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수학/ Gradient, Divergence, Curl

표기의 중복을 피하기 위해 Gradient, Divergence, Curl을 Rn\mathbb{R}^n으로 표기했으나 셋 다 모두 복소수에 대해서도 성립한다.

Gradient

벡터를 입력으로 받고 스칼라를 출력하는 스칼라 함수 f(x1,x2,...,xn)=f(x):Rn→Rf(x_1, x_2, ... , x_n) = f(\bold{x}) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}에 대해 벡터로 미분하는 것을 Gradient라 하고 ∇f\nabla f라 표기한다.
∇f=[∂f∂x1,∂f∂x2,...,∂f∂xn]\nabla f = \left[{\partial f \over \partial x_1},{\partial f \over \partial x_2},...,{\partial f \over \partial x_n} \right]
함수의 결과인 스칼라를 벡터의 각 성분으로 편미분한 결과를 벡터 형식으로 나타내기 때문에 미분 결과는 nn-차원 벡터가 된다.
Gradient는 함수의 방향별 변화율을 나타내며, 함수 값이 가장 급격하게 증가하는 방향을 가리키며, 이 방향은 함수의 등고선에 수직이다.

Divergence

벡터를 입력으로 받고 벡터를 출력하는 벡터 함수 F(x1,x2,...,xn)=F(x):Rn→RnF(x_1, x_2, ... , x_n) = F(\bold{x}) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n에 대해 결과의 성분을 벡터의 성분별로 편미분하고 그 결과를 합한 것을 Divergence라 하고 ∇⋅F\nabla \cdot F라 표기한다. 벡터를 벡터로 미분한게 아니라 (이러면 행렬이 됨) 벡터의 각 성분을 다시 벡터의 각 성분으로 미분한 것임에 유의. 결과적으로 스칼라-스칼라 미분이 되고 최종 결과는 그 스칼라들의 합이 된다.
∇⋅F=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xn\nabla \cdot F = {\partial F_1 \over \partial x_1}+{\partial F_2 \over \partial x_2}+...+{\partial F_n \over \partial x_n}
함수의 결과인 벡터의 각 성분을 다시 벡터의 각 성분으로 편미분하기 때문에 결과는 스칼라가 된다.
이것은 다음과 같이 표현되는 두 벡터의 점곱(dot product)의 결과와 동일하다. 이 때문에 Divergence의 기호가 ∇⋅F\nabla \cdot F로 표시됨.
∇⋅F=[∂∂x1,∂∂x2,...,∂∂xn]⋅F\nabla \cdot F = \left[ {\partial \over \partial x_1},{\partial \over \partial x_2}, ... , {\partial \over \partial x_n}\right] \cdot F
Divergence은 vector field의 발산을 나타내는 값으로 divergence가 양수이면 발산이고, 음수이면 수렴하고, 0이면 발산이나 수렴을 하지 않는 소용돌이(solenoidal)이라고 한다. 유체역학에서 divergence는 유체의 압축성을 나타낸다.

Curl

Curl은 3차원 벡터를 입력으로 받고 3차원 벡터를 출력하는 벡터 함수 F(x1,x2,x3)=F(x):R3→R3F(x_1, x_2, x_3) = F(\bold{x}) : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3에 대해 결과의 각 성분을 벡터의 성분별로 아래와 같이 편미분하여 벡터 형식으로 나타낸 것을 Curl이라 하고 ∇×F\nabla \times F라 표기한다. Curl은 3차원 벡터로 정의되는데 이는 Curl 계산이 외적과 관련 있기 때문이다.
∇×F=[∂F3∂y−∂F2∂z,∂F1∂z−∂F3∂x,∂F2∂x−∂F1∂y]\nabla \times F = \left[{\partial F_3 \over \partial y} - {\partial F_2 \over \partial z}, {\partial F_1 \over \partial z} - {\partial F_3 \over \partial x}, {\partial F_2 \over \partial x} - {\partial F_1 \over \partial y} \right]
함수의 결과인 벡터의 각 성분을 다시 벡터의 각 성분으로 편미분하여 연산한 후에, 벡터 형식으로 표현하기 때문에 결과는 벡터가 된다.
위 결과는 다음과 같이 정의되는 3×33 \times 3 행렬의 외적(cross product)과 동일하다. 이 때문에 Curl의 기호가 ∇×F\nabla \times F로 표시됨. 여기서 i,j,k\bold{i}, \bold{j}, \bold{k}는 각 축의 단위 벡터에 해당한다.
∇×F=[ijk∂∂x∂∂y∂∂zF1F2F3]\nabla \times F = \begin{bmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} &{\partial \over \partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{bmatrix}
Curl은 vector field의 회전 또는 와도(vorticity)를 나타내는 값으로 Curl이 0이 아니면 그 점에서 벡터장이 회전하고 있음을 의미한다. 전자기학에서 curl은 회로에 흐르는 전류에 의한 자기장의 회전을 나타낸다.
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