쌍대 공간(dual space)
쌍대공간을 이해하기 위해선 우선 순차적으로 벡터공간, 선형변환, 선형범함수를 알아야 한다.
벡터 공간(vector space)
벡터 공간은 벡터 합과 스칼라 곱이 성립하는 집합을 의미한다. 즉, 다음의 연산이 성립하는 집합이다.
선형 변환(linear transformation)
벡터공간 의 원소를 또 다른 벡터공간 에 매핑하는 함수 를 선형 변환(linear transformation)이라고 한다. 이것은 벡터를 벡터로 매핑하는 함수이다. 선형 변환은 행렬과 연결된다.
벡터공간 에 대해 에서 로 가는 모든 선형변환의 집합을 라 한다.
선형 범함수(linear function)
벡터공간 의 원소를 체 에 매핑하는 함수 를 선형 범함수(linear function)이라 부른다. 이것은 벡터를 스칼라로 매핑하는 함수이다. (벡터를 입력으로 받아 스칼라를 출력으로 하는 대표적인 함수가 정적분이다.)
와 유사하게 벡터공간 와 체 에 대해 에서 로 가는 모든 선형변환의 집합을 라 한다. (유사하게 체 의 원소를 벡터공간 에 매핑하는 함수 도 정의할 수 있고, 이러한 모든 함수들의 집합은 로 표기할 수 있다.)
쌍대 공간
앞서 설명한 모든 선형 범함수의 집합 을 바로 쌍대 공간(dual space)라 부르며 로 표기한다. 쌍대 공간이 선형 범함수의 집합이므로 이 집합의 원소는 선형 범함수 이다. 선형 범함수들에 대해 합과 스칼라 곱이 성립하기 때문에 쌍대 공간도 벡터 공간이 된다.
이중 쌍대 공간(double dual)
쌍대 공간도 벡터 공간이기 때문에 다시 쌍대 공간에 대한 선형 범함수들의 집합을 정의할 수 있으며, 그것은 쌍대 공간의 쌍대 공간이 된다. 이것을 이중 쌍대공간(double dual)이라 부르고 로 표기한다.
마찬가지로 이중 쌍대공간도 벡터 공간이므로 또 쌍대 공간을 정의할 수 있고, 같은 식으로 무한히 쌍대 공간을 정의할 수 있지만, 일반적으로 이중 쌍대공간까지만 다룬다.
쌍대 공간의 기저
쌍대 공간도 벡터 공간이므로 기저가 존재하며 쌍대 공간의 기저는 좌표함수 (여기서 는 일 때만 이고 그 외는 인 kronecker-delta) 를 이용하여 로 정의되며, 이를 쌍대 기저(dual basis)라 한다.
선형범함수의 선형 결합 표현
벡터공간의 원소를 벡터 공간의 기저의 선형결합으로 표현할 수 있는 것과 마찬가지로 쌍대공간의 원소인 선형범함수 를 다음과 같이 쌍대공간의 기저 의 선형결합으로 표현할 수 있다.
여기서 는 선형범함수에 해당하는 벡터 공간의 기저벡터이다. 이 기저벡터 를 선형범함수 에 입력으로 넣어서 얻은 스칼라를 선형 결합의 계수로 사용한다.
쌍대공간의 선형범함수가 해당 벡터공간의 기저를 입력으로 받아 쌍대공간의 기저와 함께 선형결합으로 표현된다는 것이 바로 쌍대공간을 벡터공간과 직접적으로 연결하는 부분이 된다.
