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수학/ 선형 결합(linear combination), Span, 기저(basis), 차원

선형 결합(linear combination)

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VV가 벡터공간이고 VV의 공집합이 아닌 부분집합 SS에 대해 유한개의 벡터 u1,u2,...,un∈S\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n \in S와 스칼라 a1,a2,...,ana_1, a_2,...,a_n가 존재할 때, 다음을 만족하는 벡터 v∈V\bold{v} \in V는 SS의 선형결합이라 한다.
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이때 벡터 v\bold{v}는 벡터 u1,u2,...,un\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n의 선형결합이고, a1,a2,...,ana_1, a_2,...,a_n는 이 선형결합의 계수(coefficient)라 한다.
v=∑i=1naiui\bold{v} = \sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i
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벡터를 다른 벡터의 결합으로 표현하는 것은 독립과 종속을 구분하는데 사용된다.

선형 종속(linearly dependent), 선형 독립(linearly independent)

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벡터공간 VV의 부분집합 SS에 대해 유한개의 벡터 u1,u2,...,un∈S\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n \in S와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 a1,a2,...,ana_1, a_2,...,a_n가 존재할 때, 다음을 만족하면 집합 SS는 선형 종속(linearly dependent)라고 한다. 이때 SS의 벡터 또한 선형 종속이다.
∑i=1naiui=0\sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i = \bold{0}
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벡터공간의 부분집합 SS가 선형 종속이 아니면 선형 독립(linearly independent)라고 한다. 이때 SS의 벡터 또한 선형 독립이다.
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위의 정의를 직관적으로 하면, ∑i=1naiui=0\sum_{i=1}^{n} a_i \bold{u}_i = \bold{0} 이 식을 만족하는 방법이 모든 계수가 0이 되어야 하는 경우 a1=a2=...=an=0a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 밖에 없다면 그 집합(과 그 안의 벡터들)은 선형 독립이고, 위 식을 만족하는 적절한 계수가 존재한다면 그 집합(과 그 안의 벡터들)은 선형 종속이 된다.
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임의의 벡터 u1,u2,...,un\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n에 대하여 a1=a2=...=an=0a_1 = a_2 = ... = a_n = 0이면, 벡터에 상관없이 a1u1+a2u2+...+anun=0a_1 \bold{u}_1 + a_2 \bold{u}_2 + ... + a_n \bold{u}_n = \bold{0}이 될 수 밖에 없다. 이를 u1,u2,...,un\bold{u}_1, \bold{u}_2,...,\bold{u}_n의 선형결합에 대한 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of 0\bold{0})이라고 한다.
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벡터공간 VV의 부분집합이 S1⊆S2⊆VS_1 \subseteq S_2 \subseteq V일 때,
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S1S_1이 선형종속이면 S2S_2도 선형종속이다.
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S2S_2이 선형독립이면 S1S_1도 선형독립이다.
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벡터공간 VV와 일차 독립인 부분집합 SS에 대하여 SS에 포함되지 않은 벡터 v∈V\bold{v} \in V가 존재할 때, S∪{v}S \cup \{\bold{v}\}가 선형종속이기 위한 필요충분조건은 v∈span(S)\bold{v} \in \text{span}(S)이다.
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벡터공간 VV의 선형독립인 생성집합 SS에는 중요한 특성이 있는데, VV에 속한 벡터는 반드시 SS의 선형결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다는 것이다.
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이는 선형독립인 생성집합이 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각이라고 볼 수 있다는 뜻이다.

Span

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벡터공간 VV의 공집합이 아닌 부분집합 SS가 있을 때, 의 생성 공간(Span)은 의 벡터를 사용하여 만든 모든 선형결합의 집합이며 span(S)\text{span}(S)라 표기한다. 편의를 위해 span(∅)={0}\text{span}(\empty) = \{ \bold{0}\}라 정의한다.
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SS의 생성공간은 를 포함하는 VV의 부분공간이며, 의 부분공간은 반드시 의 생성공간을 포함한다.
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벡터공간 VV의 부분집합 SS에 대해 span(S)=V\text{span}(S) = V이면 는 를 생성한다고 한다.

기저(basis), 차원(dimension)

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벡터공간 VV의 부분집합 β\beta에 대해, β\beta가 선형독립이고 VV를 생성하면 β\beta를 VV의 기저(basis)라고 한다. β\beta가 VV의 기저일 때, β\beta의 벡터는 VV의 기저를 형성한다.
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벡터공간이 벡터들의 집합이므로, 벡터 공간의 부분집합인 기저 또한 벡터들의 집합이다.
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벡터공간 VV에 대해 다음과 같이 생긴 벡터의 집합을 VV의 표준기저(standard basis)라고 한다.
e1=(1,0,0,...,0),e2=(0,1,0,...,0),...,en=(0,0,...,0,1)\bold{e}_1 = (1,0,0,...,0), \bold{e}_2 = (0,1,0,...,0),...,\bold{e}_n = (0,0,...,0,1)
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유한집합 SS가 벡터공간 VV를 생성하면 SS의 부분집합 중 VV의 기저가 존재한다. 즉 VV에는 유한집합인 기저를 포함한다.
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(replacement theorem) nn개의 벡터로 이루어진 집합 GG가 벡터공간 VV를 생성한다고 하자. LL이 mm개의 선형독립인 벡터로 이루어진 VV의 부분집합이면 m≤nm \leq n이다.
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생성집합의 벡터의 수가 선형독립인 집합의 벡터의 수 보다 크거나 같다.
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벡터공간 VV가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정하자. VV의 모든 기저는 유한집합이며, 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.
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기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라고 하고 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이 된다.
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VV의 기저가 nn개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 nn은 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이고, dim⁡(V)\dim(V)라 표기한다.
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벡터공간 {0}\{\bold{0}\}의 차원은 00이다.
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벡터공간 FnF^n의 차원은 nn이다.
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벡터공간 Mm×nM_{m\times n}의 차원은 mnmn이다. —Mm×nM_{m\times n}은 행렬을 의미 함.
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벡터공간 Pn(F)P_n(F)의 차원은 n+1n+1이다. —Pn(F)P_n(F)는 nn차 다항식의 집합으로 {1,x,...,xn}\{1, x, ..., x^n\}형식이 됨.
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VV를 차원이 nn인 벡터공간이라 하면 다음이 성립힌다.
1.
VV의 유한생성집합에는 반드시 nn개 이상의 벡터가 있다. 또한 nn개의 벡터로 이루어진 VV의 생성집합은 VV의 기저이다.
2.
선형독립이고 nn개의 벡터로 이루어진 VV의 부분집합은 VV의 기저이다.
3.
선형독립인 VV의 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다. 다시 말해 L(⊆V)L(\subseteq V)이 선형독립이면 L⊆βL \subseteq \beta인 VV의 기저 β\beta가 존재한다.
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벡터공간 VV의 차원이 nn이면 VV의 모든 기저는 반드시 nn개의 벡터로 이루어져있다. 더 나아가 VV의 선형독립인 부분집합은 nn개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며, 몇 개의 벡터를 추가하여 기저로 확장할 수 있다.
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유한차원 벡터공간 VV에 대해 부분공간 WW는 유한차원이고 dim⁡(W)≤dim⁡(V)\dim(W) \leq \dim(V)이다. dim⁡(W)=dim⁡(V)\dim(W) = \dim(V)이면 W=VW = V이다.
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유한차원 벡터공간 VV의 부분공간 WW에 대해 WW의 임의의 기저를 가져오면 이 기저를 확장하여 VV의 기저를 얻을 수 있다.
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모든 벡터공간에는 기저가 존재한다.
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기저에 순서가 주어지면 순서기저(ordered basis)라고 한다.

참조

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