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수학/ 가역성, 동형사상, 쌍대공간, 불변, 제한

가역성(invertible)

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벡터공간 V,WV, W와 선형변환 T:V→WT : V \to W을 생각하자. TU=IWTU = \bold{I}_W이고 UT=IVUT = \bold{I}_V인 함수 UU를 TT의 역함수(inverse)라 한다. 역함수가 존재하는 TT를 가역(invertible)이라 하며, 이 역함수를 T−1T^{-1}라 표기한다. TT가 가역이면 TT의 역함수는 유일하다.
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가역인 함수 V,WV, W에 대하여 다음이 성립한다. 함수가 가역이기 위한 필요충분조건은 단사이고 전사이다.
1.
(TU)−1=U−1T−1(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}
2.
(T−1)−1=T(T^{-1})^{-1} = T
3.
V,WV, W가 차원이 같은 벡터공간이라 하자. 선형변환 T:V→WT : V \to W가 가역이기 위한 필요충분조건은 rank(T)=dim⁡(V)\text{rank}(T) = \dim(V)이다.
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벡터공간 V,WV, W와 가역인 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대해 역함수 T−1:W→VT^{-1} : W \to V 또한 선형이다.
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선형변환 T:V→WT : V \to W가 가역이라 하자. VV가 유한차원이기 위한 필요충분조건은 WW가 유한차원인 것이다. 이때 dim⁡(V)=dim⁡(W)\dim(V) = \dim(W)이다.
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n×nn \times n 행렬 A\bold{A}에 대해 AB=BA=I\bold{AB} = \bold{BA} = \bold{I}인 n×nn \times n 행렬 B\bold{B}가 존재할 때, A\bold{A}는 가역(invertible)이라 한다.
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이때 행렬 B\bold{B}는 유일하고, B\bold{B}를 A\bold{A}의 역행렬(inverse)이라 하고 A−1\bold{A}^{-1}라 표기한다.
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유한차원 벡터공간 V,WV, W와 각각의 순서기저 β,γ\beta, \gamma, 선형변환 T:V→WT : V \to W에 대해 TT가 가역이기 위한 필요충분조건은 [T]βγ[T]_\beta^\gamma가 가역인 것이다. 특히 [T−1]γβ=([T]βγ)−1[T^{-1}]_\gamma^\beta = ([T]_\beta^\gamma)^{-1}이다.
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순서기저 β\beta를 가지는 유한차원 벡터공간 VV와 선형변환 T:V→VT : V \to V에 대해 TT가 가역이기 위한 필요충분조건은 [T]β[T]_\beta가 가역인 것이다. 특히 [T−1]β=([T]β)−1[T^{-1}]_\beta = ([T]_\beta)^{-1}이 성립한다.
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n×nn \times n 행렬 A\bold{A}에 대해 A\bold{A}가 가역이기 위한 필요충분조건은 LAL_{\bold{A}}가 가역인 것이다. 특히 (LA)−1=LA−1(L_\bold{A})^{-1} = L_{\bold{A}^{-1}}이다.
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A,B\bold{A, B}가 Mn×n(F)M_{n \times n}(F)의 행렬이라 하자. B=Q−1AQ\bold{B} = \bold{Q}^{-1}\bold{AQ}인 가역행렬 Q\bold{Q}가 존재하면 B\bold{B}는 A\bold{A}와 서로 닮음(similar)이다.
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이것을 similar matrix라고 한다.
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TT가 유한차원 벡터공간 VV의 선형연산자이고 β\beta와 β′\beta'이 VV의 순서기저일 때, [T]β′[T]_{\beta'}와 [T]β[T]_\beta는 서로 닮음이다.

동형사상(isomorphism)

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어떤 벡터공간은 벡터의 모양이 구체적으로 다르다는 점만 제외하면 서로 매우 닮아 있다. M2×2(F)M_{2\times 2}(F)와 F4F^4에 각각 집합 (abcd)\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)와 4 순서쌍 (a,b,c,d)(a, b, c, d)를 대응하면 벡터의 합과 스칼라 곱이 비슷한 방식으로 작동한다. 두 벡터공간은 구조적으로 동형(isomorphic)이다.
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두 벡터공간 V,WV, W 사이에 가역인 선형변환 T:V→WT : V \to W가 존재하면 VV는 WW와 동형(isomorphic)이다. 이때 가역인 선형변환을 VV에서 WW로 가는 동형사상(isomorphism)이라 한다.
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같은 체 위에서 정의된 유한차원 벡터공간 V,WV, W에 대하여 VV가 WW와 동형이기 위한 필요충분조건은 dim⁡(V)=dim⁡(W)\dim(V) = \dim(W)이다.
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FF-벡터공간 VV에 대해 VV가 FnF^n와 동형이기 위한 필요충분조건은 dim⁡(V)=n\dim(V) = n이다.
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차원이 각각 nn과 mm인 FF-벡터공간 V,WV, W를 생각하자. VV와 WW의 순서기저를 각각 β,γ\beta, \gamma라 할 때, 다음과 같이 정의한 함수 Φβγ:L(V,W)→Mm×n(F)\Phi_\beta^\gamma : \mathcal{L}(V, W) \to M_{m \times n}(F)는 동형사상이다.
T∈L(V,W)에 대하여 Φβγ(T)=[T]βγT \in \mathcal{L}(V, W) \text{에 대하여 } \Phi_\beta^\gamma(T) = [T]_\beta^\gamma
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차원이 각각 n,mn, m인 유한차원 벡터공간 V,WV, W에 대하여 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)는 차원이 nmnm인 벡터공간이다.
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체 FF에서의 nn차원 벡터공간 VV의 순서기저를 β\beta라 하자. β\beta에 대한 VV의 표준표현(standard representation)은 다음과 같이 정의된 함수 ϕβ:V→Fn\phi_\beta : V \to F^n이다.
x∈V 에 대하여 ϕβ(x)=[x]β\bold{x} \in V \text{ 에 대하여 } \phi_\beta(\bold{x}) = [\bold{x}]_\beta
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임의의 유한차원 벡터공간 VV와 순서기저 β\beta에 대하여 ϕβ\phi_\beta는 동형사상이다.
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nn차원 벡터공간 V,WV,W와 선형변환 T:V→WT : V \to W의 기저 VV에 β\beta대하여 다음이 성립한다.
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TT가 동형사상이기 위한 필요충분조건은 T(β)T(\beta)가 β\beta의 기저인 것이다.

쌍대공간(dual space)

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벡터공간 VV에 체 FF로 가는 선형변환을 선형범함수(linear function)이라 한다. 다음의 내용에서 선형 범함수는 f,g,h...\bold{f, g, h}...와 같은 표기로 작성한다.
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쌍대 공간의 선형 범함수는 벡터 공간의 원소들을 측정하거나 평가하는 역할을 한다. 쌍대 공간은 벡터 공간에 대해서만 정의되지 않고 함수 해석학, 위상 수학 등 수학의 다양한 분야에서도 동일한 개념을 갖는다.
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쌍대 공간을 선형 범함수만으로 구성하는 이유는 단순성과 유용성 때문이다.
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순서기저 β={x1,x2,...,xn}\beta = \{ \bold{x}_1, \bold{x}_2,...,\bold{x}_n\}를 가지는 유한차원 벡터공간 VV에 대해 각 i=1,2,...,ni = 1,2,...,n마다 다음과 같은 함수를 정의한다.
β\beta에 대한 x\bold{x}의 좌표벡터가 [x]β=(a1a2⋮an)[\bold{x}]_\beta = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right)일 때 fi(x)=ai\bold{f}_i(x) = a_i
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이때 fi\bold{f}_i는 VV의 선형범함수이며 기저 β\beta에 대한 ii번째 좌표함수(coordinate function)라 한다. fi(xj)=δij\bold{f}_i(x_j) = \delta_{ij}임에 유의하라. 이 선형범함수는 쌍대공간을 이해하는데 중요한 역할을 한다.
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FF-벡터공간 VV에 대해 벡터공간 L(V,F)\mathcal{L}(V, F)를 VV의 쌍대공간(dual space)라 하며, V∗V^*라 표기한다.
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VV와 V∗V^*는 동형이다.
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V∗V^*는 VV의 모든 선형범함수로 이루어져 있으며, 벡터의 합과 스칼라 곱은 동일하다. VV가 유한차원이면 다음이 성립한다.
dim⁡(V∗)=dim⁡(L(V,F))=dim⁡(V)⋅dim⁡(F)=dim⁡(V)\dim(V^*) = \dim(\mathcal{L}(V,F)) = \dim(V)\cdot \dim(F) = \dim(V)
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V∗V^*의 쌍대공간을 VV의 이중 쌍대공간(double dual) V∗∗V^{**}이라 정의한다. VV가 유한차원일 때 VV와 V∗∗V^{**} 사이에 자연스러운 동일화(identification)가 존재한다.
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순서기저 β={x1,x2,...,xn}\beta = \{ \bold{x}_1, \bold{x}_2,...,\bold{x}_n\}를 가지는 유한차원 벡터공간 VV와 β\beta에 대한 ii번째 좌표함수 fi(1≤i≤n)\bold{f}_i(1 \leq i \leq n)를 생각하자. 이때 β∗={f1,f2,...,fn}\beta^* = \{ \bold{f}_1, \bold{f}_2,...,\bold{f}_n\}는 V∗V^*의 순서기저이다.
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임의의 f∈V∗\bold{f} \in V^*에 대하여 f=∑i=1nf(xi)fi\bold{f} = \sum_{i=1}^{n}\bold{f}(x_i) \bold{f}_i이다.
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fi(xj)=δij (1≤j,j≤n)\bold{f}_i(x_j) = \delta_{ij} \ (1 \leq j, j \leq n)를 만족하는 V∗V^*의 순서기저 β∗={f1,f2,...,fn}\beta^* = \{ \bold{f}_1, \bold{f}_2,...,\bold{f}_n\}를 β\beta의 쌍대기저(dual basis)라 한다.
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VV와 WW는 FF에서의 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 β\beta와 γ\gamma이다. 임의의 선형변환 T:V→WT:V \to W에 대하여 함수 TT:W∗→V∗T^T : W^* \to V^*를 다음과 같이 정의하자.
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모든 g∈W∗\bold{g} \in W^*에 대하여 TT(g)=gTT^T(\bold{g}) = \bold{g}T
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이 함수는 선형변환이고 [TT]γ∗β∗=([T]βγ)T[T^T]_{\gamma^{*}}^{\beta^{*}} = ([T]_\beta^\gamma)^T가 성립한다.
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벡터 x∈V\bold{x} \in V에 대해 함수 x^:V∗→F\widehat{x} : V^* \to F를 x^(f)=f(x)\widehat{x}(\bold{f}) = \bold{f}(\bold{x}) (단 f∈V∗\bold{f} \in V^*)라 정의하면 x^\widehat{x}이 V∗V^*의 선형범함수가 된다. 따라서 x^∈V∗∗\widehat{x} \in V^{**}이다.
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유한차원 벡터공간 VV와 x∈V\bold{x} \in V를 생각하자. 임의의 f∈V∗\bold{f} \in V^*에 대하여 x^(f)=0\widehat{x}(\bold{f}) = 0이면 x=0\bold{x} = \bold{0}이다.
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유한차원 벡터공간 VV에 대하여 함수 ψ:V→V∗∗\psi : V \to V^{**}를 ψ(x)=x^\psi(\bold{x}) = \widehat{x}이라 정의하면, ψ\psi는 동형사상이다.
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유한차원 벡터공간 VV와 쌍대공간 V∗V^*에 대해 V∗V^*의 모든 순서기저는 VV의 어떤 기저의 쌍대기저이다.

불변(invariant), 제한(restriction)

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벡터공간 VV, 선형변환 T:V→VT : V \to V와 VV의 부분공간 WW에 대하여,
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모든 x∈W\bold{x} \in W에 대하여 T(x)∈WT(x) \in W일 때 WW는 TT-불변(T-invariant)이라고 한다. 즉 WW가 TT-불편일 때 T(W)⊆WT(W) \subseteq W이다.
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WW가 TT-불변일 때, WW에서 정의된 TT의 제한(restriction) TW:W→WT_W:W \to W는 다음과 같이 정의한다.
∀x∈W,TW(x)=T(x)\forall \bold{x} \in W, T_W(\bold{x}) = T(\bold{x})

참조

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