확률변수의 변환
•
기존의 확률변수를 새로운 확률변수로 바꾸는 것을 확률변수의 변환이라고 한다.
◦
어떤 확률변수 를 확률변환 함수 에 넣어서 을 만드는 것.
•
예컨대 확률 변환 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.
◦
만일 아래의 식에서 이었다면 는 를 2배 늘리고 +1 이동 시킨 결과를 갖는다.
•
이런 변환에는 물론 행렬도 사용 가능하다. 이것은 다변량 분포에 사용된다.
이산형 확률변수
•
가 이산형 확률변수인 경우, 변환된 확률변수의 확률 질량 함수는 다음과 같이 구할 수 있다.
◦
에 대한 확률 질량 함수의 합이 에 대한 확률 질량 함수의 합이 된다.
연속형 확률변수
•
가 연속형 확률변수인 경우, 밀도에 대한 합을 구할 수 없기 때문에, 다음과 같이 에 대한 누적 분포 함수를 구한다.
확률변수 변환의 선형성
•
애 대한 기댓값은 다음과 같은 선형성을 갖는다.
•
에 대한 공분산 행렬은 다음과 같은 관계를 갖는다.
◦
기댓값과 달리 분산은 선형이 아니다.
◦
만일 두 확률 변수에 대한 분산이 선형이 되려면, 두 확률 변수가 독립이어야 함.
Convolution 이론
•
만일 이고 는 독립적인 확률변수일 때, 이것이 이산 확률 변수인 경우 다음과 같이 합계에 대한 확률 밀도 함수를 계산할 수 있다.
◦
여기서
•
만일 가 연속 확률 변수인 경우 의 분포는 다음과 같이 누적 분포 함수를 이용하여 정의 된다.
•
이것을 로 정의된 영역 에 대해 적분하면 에 대한 확률 밀도 함수는 다음과 같다.
•
위 식은 아래와 같이 간편하게 정의되는데, 여기서 이 컨볼루션 연산이 된다.
◦
컨불루션 연산은 ‘flip and drag’ 작업으로 생각할 수 있다. CNN에서 나오는 컨볼루션 연산이 바로 이것이다.
•
참고로 두 가우시안에 대한 컨볼루션 결과는 가우시안이다.
참고
•
