총 기대값의 법칙(Law of Total Expectation)
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확률 변수 의 기대값은 의 조건부 기대값의 기대값과 같다. 이를 총 기댓값의 법칙이라고 한다.
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만일 함수가 조건부로 주어진 변수에 종속 일 때, 해당 조건부 기대값은 함수값과 같다.
조건부 기댓값
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조건부에 대한 기댓값은 다음처럼 정의된다.
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이산 확률인 경우
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연속 확률의 경우
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기대값과 적분에 대해 다음과 같은 관계가 정의된다. 확률 함수 에 곱해지는 대상이 확률 변수가 된다.
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확률 함수가 조건부 일 경우 기대값도 확률 함수의 조건부로 정의된다.
기댓값과 미적분 연산 교환
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함수 가 Lipschitz 조건을 만족하고 가 연속이고 가 적분가능하면 기댓값에서의 미분 연산이 교환 가능하다.
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함수 가 Fubini’s Theorem(에 대해 적분 가능하고 의 기댓값이 존재)를 만족하고 가 연속이고 적분가능하면 기댓값에서의 적분 연산이 교환 가능하다.
다른 함수로 기대값 계산
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에 대한 의 기대값을 다음과 같이 정의할 수 있다.
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이 식은 기댓값 정의에 따라 다음과 같이 계산된다.
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만일 다변수 함수 로 기대값을 계산하면 다음과 같다.
