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수학/ 지수와 로그와 e

지수와 로그의 관계

지수와 로그는 정의에 의해 다음의 관계를 갖는다.
ax=y⇔x=log⁡aya^x = y \Leftrightarrow x = \log_a y
이는 왼쪽의 식의 양변에 aa를 밑(base)으로 하는 log⁡\log를 취하면 쉽게 성립함을 보일 수 있다.
log⁡aax=log⁡ay⇒x⋅log⁡aa=log⁡ay\log_a a^x = \log_a y \Rightarrow x \cdot \cancel{\log_a a} = \log_a y
지수와 로그의 관계를 이용하면 어떤 수를 밑으로 하는 지수도 다른 수를 밑으로 사용하는 수로 표현할 수 있다. 예컨대 axa^x를 bb를 밑으로하는 식으로 수정하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
ax=bxlog⁡baa^x = b^{x \log_b a}
마찬가지로 양변에 bb를 밑으로 하는 log⁡\log를 취하면 쉽게 성립함을 볼 수 있다.
log⁡bax=log⁡bbxlog⁡ba⇒xlog⁡ba=xlog⁡ba⋅log⁡bb\log_b a^x = \log_b b^{x \log_b a} \Rightarrow x\log_b a = x\log_b a \cdot \cancel{\log_b b}
참고로 지수와 로그의 관계를 이해하면 log의 입력이 밑(base) 보다 작을 때 음수가 나오는지도 이해할 수 있다. 예컨대 아래 식에 대해 y=−1y=-1이 되어야 함을 알 수 있다. 이것은 지수 관계일 때 지수인 yy가 음수가 되어서 역수가 되어야 결과가 부합하기 때문이다. 즉 로그의 입력이 밑보다 작을 수록 지수부는 큰 음수가 되어야 한다.
log⁡10(0.1)=y⇒10y=0.1\log_{10} (0.1) = y \Rightarrow 10^y = 0.1

ee를 밑으로 하는 지수와 로그를 많이 사용하는 이유

‘오일러 상수’ 또는 ‘자연 로그의 밑’으로 불리는 ee는 2.718…의 값을 갖는 초월수로 다음과 같이 정의된다.
e=lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→0(1+n)1n=∑n=0∞1n!e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n}\right)^n = \lim_{n \to 0} (1 + n)^{1 \over n} = \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!}
ee는 복리를 계산하거나 다양한 자연 현상에서 발견되는 패턴과도 관계가 있지만, 지수에 대해 미분과 적분의 결과가 자기 자신이 된다는 점에서 매우 특수한 수이다.
ddxex=ex∫exdx=ex+C\begin{aligned} {d \over dx} e^x &= e^x \\ \int e^x dx &= e^x + C \end{aligned}
지수와 로그의 관계에서 보았듯이 모든 지수는 다른 수의 지수에 log⁡\log를 결합한 형태로 표현 가능하기 때문에, 모든 지수는 ee를 통해 표현가능하다.
ax=y⇔exlog⁡ea=ya^x = y \Leftrightarrow e^{x \log_e a} = y
이러한 편리함 때문에 지수나 log⁡\log를 다룰 때는 밑을 ee로 설정하는 것이 일반적이다. 참고로 ee를 밑으로 하는 log⁡\log는 특별히 자연 로그라고 말하며 ln⁡\ln으로 줄여서 표기할 수 있다.
log⁡ex=ln⁡x\log_ex = \ln x
물론 분야에 따라 ee가 아닌 다른 수를 쓰기도 한다. 상용 로그는 1010을 밑으로 하는 로그를 사용하며, 이진수를 다루는 경우에는 22를 밑으로 하는 지수나 로그를 사용한다.
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